Obter a solução geral u(x, y) para as EDP a seguir e verificar a solução obtida.
u_{x}=\ln \left(x y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação em derivadas parciais
u_{x} = \ln\bigl(x\,y^{2}\bigr)
Isso é uma EDP de primeira ordem em que conhecemos a derivada parcial de u em relação a x. Para resolver, vamos integrar em x, lembrando que a “constante” de integração pode depender de y.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando propriedades de logaritmo:
\ln\bigl(x\,y^{2}\bigr)=\ln x + \ln\bigl(y^{2}\bigr)=\ln x + 2\,\ln y.
Assim, para obter u integramos
u(x,y)=\int \bigl(\ln x + 2\ln y\bigr)\,dx + C(y),
onde C(y) é a “constante” de integração, função de y apenas.

Passo 3

Calculamos as integrais separadamente:
\int \ln x\,dx = x\,\ln x - x,
\int 2\,\ln y\,dx = 2\,\ln y \int dx = 2\,x\,\ln y.
Portanto,
u(x,y)=\bigl(x\,\ln x - x\bigr) + 2\,x\,\ln y + C(y).

Passo 4

Agora verificamos derivando em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\,\ln x - x + 2\,x\,\ln y + C(y)\bigr] =(\ln x + 1) -1 + 2\,\ln y + 0 =\ln x + 2\,\ln y =\ln\bigl(x\,y^{2}\bigr),
que coincide com o dado u_{x}. Logo a solução está correta.

Resposta

u(x,y)=x\,\ln x - x + 2\,x\,\ln y + C(y),
onde C(y) é uma função arbitrária de y.

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