Obter a solução particular dos PVC abaixo. Para tanto, resolva as EDO e, em seguida, determine os coeficientes arbitrários por meio das condições de contorno.
y^{\prime \prime}=3 x^{2}, y(1)=0, y(2)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
y'' = 3x^2
com as condições de contorno
y(1)=0,\quad y(2)=5.
O conteúdo é resolução de EDO não homogênea por integração direta e determinação de constantes pela aplicação das condições de contorno.

Passo 2

Integramos duas vezes para obter a solução geral. Primeiro,
y'(x)=\int 3x^2\,dx = x^3 + C_{1}.
Em seguida,
y(x)=\int \bigl(x^3 + C_{1}\bigr)\,dx = \frac{x^4}{4} + C_{1}\,x + C_{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos as condições de contorno para encontrar C_{1} e C_{2}. Para x=1,
y(1)=\frac{1^4}{4}+C_{1}\cdot1+C_{2}=\frac14 + C_{1}+C_{2}=0.
Para x=2,
y(2)=\frac{2^4}{4}+C_{1}\cdot2+C_{2}=4 + 2C_{1}+C_{2}=5.
Isso gera o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=-\tfrac14,\\\\ 2C_{1}+C_{2}=1. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
subtraindo a primeira equação da segunda,
(2C_{1}+C_{2}) - (C_{1}+C_{2}) = 1 - \bigl(-\tfrac14\bigr) \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = \frac54.
Então de C_{1}+C_{2}=-\tfrac14 segue
C_{2} = -\tfrac14 - \frac54 = -\frac32.

Resposta

y(x) = \frac{x^4}{4} + \frac54\,x - \frac32.

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