Obter a solução particular dos PVC abaixo. Para tanto, resolva as EDO e, em seguida, determine os coeficientes arbitrários por meio das condições de contorno.
y^{\prime}-x+x^{2}=0, \quad y(3)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - x + x^{2} = 0, \quad y(3)=0.
Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, do tipo diretamente integrável, pois basta isolar y'.

Passo 2

Isolando y', temos
y' = x - x^{2}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
\int dy = \int \bigl(x - x^{2}\bigr)\,dx
o que dá
y(x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Aplicamos a condição y(3)=0. Substituindo x=3 em
y(3) = \frac{3^{2}}{2} - \frac{3^{3}}{3} + C = 0
temos
\frac{9}{2} - \frac{27}{3} + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9}{2} - 9 + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{9}{2} + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{9}{2}.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{9}{2}.}

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