Obter a solução particular dos PVI abaixo. Para tanto, resolva as EDO e, em seguida, determine os coeficientes arbitrários por meio das condições iniciais
y^{\prime}-3 x^{2} y=x^{2}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y' - 3x^{2}y = x^{2},\quad y(0)=1
Trata-se de uma EDO linear de 1ª ordem da forma
y' + P(x)\,y = Q(x)
com P(x)=-3x^{2} e Q(x)=x^{2}. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}. Como
\int P(x)\,dx = \int (-3x^{2})\,dx = -x^{3},
temos
\mu(x)=e^{-x^{3}}.

Passo 3

Multiplicamos a EDO por \mu(x):
e^{-x^{3}}y' -3x^{2}e^{-x^{3}}y = x^{2}e^{-x^{3}}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x^{3}}\bigr).
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x^{3}}\bigr) = x^{2}e^{-x^{3}}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{-x^{3}} = \int x^{2}e^{-x^{3}}\,dx + C.
Para calcular a integral, fazemos u=-x^{3}, du=-3x^{2}dx, logo x^{2}dx=-\tfrac{1}{3}du. Assim,
\int x^{2}e^{-x^{3}}\,dx = -\tfrac{1}{3}\int e^{u}\,du = -\tfrac{1}{3}e^{u} + C_{1} = -\tfrac{1}{3}e^{-x^{3}} + C_{1}.
Substituindo,
y\,e^{-x^{3}} = -\tfrac{1}{3}e^{-x^{3}} + C.

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por e^{x^{3}}:
y = -\tfrac{1}{3} + C\,e^{x^{3}}.
Essa é a solução geral da EDO.

Passo 6

Impondo a condição inicial y(0)=1:
1 = -\tfrac{1}{3} + C\,e^{0} \quad\Longrightarrow\quad C = 1 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{4}{3}.
Portanto, a solução particular é
y(x) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{4}{3}\,e^{x^{3}}.

Resposta

y(x) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{4}{3}\,e^{x^{3}}.

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