Obter a solução particular dos PVI abaixo. Para tanto, resolva as EDO e, em seguida, determine os coeficientes arbitrários por meio das condições iniciais
y^{\prime \prime}+\cos (x)=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução particular do problema de valor inicial
y'' + \cos(x) = 0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0.
O conteúdo aqui é resolução de EDO por quadraturas (integração sucessiva) e determinação de constantes via condições iniciais.

Passo 2

Reescrevendo a EDO como
y'' = -\cos(x)
integramos em relação a x para obter y'. Como \int -\cos(x)\,dx = -\sin(x), temos
y'(x) = -\sin(x) + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração.

Passo 3

Agora integramos novamente para achar y(x). Como \int -\sin(x)\,dx = \cos(x) e \int C_{1}\,dx = C_{1}x, resulta
y(x) = \cos(x) + C_{1}x + C_{2},
com C_{2} outra constante de integração.

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}:
Para y(0)=1:
y(0) = \cos(0) + C_{1}\cdot0 + C_{2} = 1 + C_{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = 0.
Para y'(0)=0:
y'(0) = -\sin(0) + C_{1} = 0 + C_{1} = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = 0.

Resposta

A solução particular do PVI é
y(x) = \cos(x).

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