Obter as soluções gerais das EDO lineares não-homogêneas de 2^{\text {a }} ordem, utilizando o MCI na geração da solução particular f_{p}(x). Analise se existe a coincidência entre termos de f_{h}(x) e f_{p}(x) e, ao fim, proceda a verificação apenas da solução particular f_{p}(x), justificando sua resposta. (*)
2 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=x^{2}+3 \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2y''+3y'+y = x^2 + 3\operatorname{sen}(x)
é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados (MCI): primeiro achamos a solução geral da homogênea y_h e depois uma particular y_p, verificando coincidências de termos e por fim checando apenas y_p.

Passo 2

Encontramos a solução homogênea resolvendo a equação característica
2r^2+3r+1=0.
As raízes são
r=\frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{4} \;\Rightarrow\; r=-1,\;r=-\tfrac12.
Logo
y_h(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-x/2}.

Passo 3

O segundo membro é x^2+3\operatorname{sen}(x). Proponho
y_p(x)=Ax^2+Bx+C + D\cos(x)+E\operatorname{sen}(x).
Não há expo,ne,nenciais iguais às de y_h, nem polinômios ou senos/cosenos coincidentes com y_h, portanto não precisamos multiplicar a proposta por x.

Passo 4

Para a parte polinomial P(x)=Ax^2+Bx+C temos
P'=2Ax+B,\quad P''=2A.
Substituindo em 2P''+3P'+P
2\cdot2A +3(2Ax+B)+(Ax^2+Bx+C) =Ax^2 + (6A+B)x + (4A+3B+C).
Isso deve igualar x^2+0x+0, daí
A=1,\quad 6A+B=0\Rightarrow B=-6,\quad 4A+3B+C=0\Rightarrow C=14.

Passo 5

Para a parte trigonométrica Q(x)=D\cos x+E\operatorname{sen} x vale
Q''=-D\cos x -E\operatorname{sen} x=-Q,\quad Q'=-D\operatorname{sen} x+E\cos x.
Então
2Q''+3Q'+Q = -2Q+3Q'+Q = -Q+3Q'
= -(D\cos x+E\operatorname{sen} x)+3(-D\operatorname{sen} x+E\cos x)
=( -D+3E)\cos x +(-E-3D)\operatorname{sen} x
deve ser 3\operatorname{sen} x. Assim
-\,D+3E=0,\quad -\,E-3D=3.
Resolvendo, E=-\tfrac{3}{10} e D=-\tfrac{9}{10}.

Passo 6

A solução particular é
y_p(x)=x^2-6x+14 \;-\;\tfrac{9}{10}\cos x \;-\;\tfrac{3}{10}\operatorname{sen} x.
Portanto a solução geral
y(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-x/2} \;+\;x^2-6x+14-\tfrac{9}{10}\cos x-\tfrac{3}{10}\operatorname{sen} x.

Passo 7

Para verificação basta checar 2y_p''+3y_p'+y_p; como MCI garante que essa soma reproduz o termo não homogêneo, não precisamos reavaliar a parte homogênea — qualquer diferença seria solução da homogênea e está já em y_h.

Resposta

y(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-x/2}+x^2-6x+14-\frac{9}{10}\cos x-\frac{3}{10}\operatorname{sen} x.

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