Obter as soluções gerais das EDO lineares não-homogêneas de
ordem, utilizando o MCI na geração da solução particular
. Analise se existe a coincidência entre termos de
e
e, ao fim, proceda a verificação apenas da solução particular
, justificando sua resposta. (*)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
que é uma EDO linear não-homogênea de segunda ordem. Vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados (MCI) para determinar uma solução particular
, checar se há coincidência de termos com a solução homogênea
e, por fim, verificar que
satisfaz a equação.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea
A equação característica é
cuja raiz dupla-separada dá
e
. Logo,
Passo 3
Para a parte não-homogênea, decomponhamos em duas forçantes:
-
. Como não é raiz da característica, tentamos
-
. Como também não são raízes da característica, tentamos
Passo 4
Calculemos
com
. Seja
. Então
Logo
Para igualar a
obtemos o sistema
cuja solução é
Logo
Passo 5
Calculemos
para
. As derivadas são
Assim
Igualando a
(isto é,
) vem
cuja solução é
Logo
Passo 6
A solução particular geral é
Não houve necessidade de multiplicar o ansatz por
porque
e
não coincidem com as raízes
. A solução geral da EDO é
Passo 7
Verificação de
: como mostramos em cada caso
segue-se que
que é exatamente o termo não-homogêneo, confirmando
.
Resposta
A solução geral é