Obter as soluções gerais das EDO lineares não-homogêneas de 2^{\text {a }} ordem, utilizando o MCI na geração da solução particular f_{p}(x). Analise se existe a coincidência entre termos de f_{h}(x) e f_{p}(x) e, ao fim, proceda a verificação apenas da solução particular f_{p}(x), justificando sua resposta. (*)
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=(x+1) e^{3 x}+\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' - 3y' + 2y = (x+1)e^{3x} + \sin(x)
que é uma EDO linear não-homogênea de segunda ordem. Vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados (MCI) para determinar uma solução particular f_{p}(x), checar se há coincidência de termos com a solução homogênea f_{h}(x) e, por fim, verificar que f_{p}(x) satisfaz a equação.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y'' - 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0
cuja raiz dupla-separada dá r=1 e r=2. Logo,
f_{h}(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{2x}.

Passo 3

Para a parte não-homogênea, decomponhamos em duas forçantes:
  1. (x+1)e^{3x}. Como r=3 não é raiz da característica, tentamos
y_{1}(x) = (Ax + B)e^{3x}.
  1. \sin(x). Como \pm i também não são raízes da característica, tentamos
y_{2}(x) = C\cos(x) + D\sin(x).

Passo 4

Calculemos L[y_{1}] com L[y]=y''-3y'+2y. Seja y_{1}=(Ax+B)e^{3x}. Então
y_{1}'=(3Ax+3B+A)e^{3x},\quad y_{1}''=(9Ax+9B+6A)e^{3x}.
Logo
L[y_{1}] = \bigl(9Ax+9B+6A\bigr)e^{3x} -3\bigl(3Ax+3B+A\bigr)e^{3x} +2(Ax+B)e^{3x} =(2A x + (2B+3A))e^{3x}.
Para igualar a (x+1)e^{3x} obtemos o sistema
2A = 1,\quad 2B + 3A = 1
cuja solução é
A = \tfrac12,\quad B = -\tfrac14.
Logo
y_{1}(x)=\bigl(\tfrac12x - \tfrac14\bigr)e^{3x}.

Passo 5

Calculemos L[y_{2}] para y_{2}=C\cos x + D\sin x. As derivadas são
y_{2}'=-C\sin x + D\cos x,\quad y_{2}''=-C\cos x - D\sin x.
Assim
L[y_{2}] =(-C\cos x - D\sin x) -3(-C\sin x + D\cos x) +2(C\cos x + D\sin x) =(C-3D)\cos x + (3C+D)\sin x.
Igualando a \sin x (isto é, 0\cos x +1\sin x) vem
C - 3D = 0,\quad 3C + D = 1
cuja solução é
D = \tfrac{1}{10},\quad C = \tfrac{3}{10}.
Logo
y_{2}(x)=\tfrac{3}{10}\cos x + \tfrac{1}{10}\sin x.

Passo 6

A solução particular geral é
f_{p}(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x) =\bigl(\tfrac12x - \tfrac14\bigr)e^{3x} +\tfrac{3}{10}\cos x + \tfrac{1}{10}\sin x.
Não houve necessidade de multiplicar o ansatz por x porque r=3 e \pm i não coincidem com as raízes 1,2. A solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+f_{p}(x).

Passo 7

Verificação de f_{p}(x): como mostramos em cada caso
L[y_{1}]=(x+1)e^{3x}, \quad L[y_{2}]=\sin x,
segue-se que
L[f_{p}]=L[y_{1}]+L[y_{2}] =(x+1)e^{3x}+\sin x,
que é exatamente o termo não-homogêneo, confirmando f_{p}(x).

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{2x} + \bigl(\tfrac12x - \tfrac14\bigr)e^{3x} + \tfrac{3}{10}\cos x + \tfrac{1}{10}\sin x.

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