Obter as soluções gerais das EDO de 1^{a} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO de 1{ }^{a} ordem com coeficientes homogêneos)
\left(x+y e^{y / x}\right) d x-x e^{y / x} d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de 1ª ordem
\bigl(x + y\,e^{y/x}\bigr)\,dx \;-\; x\,e^{y/x}\,dy \;=\;0
que tem coeficientes homogêneos. Vamos usar a substituição
u = \frac{y}{x},
transformando em equação separável para x e u.

Passo 2

Defina
u = \frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad y = u\,x \quad\Longrightarrow\quad dy = u\,dx + x\,du.
Substituindo em cada termo da EDO:
x + y\,e^{y/x} = x + (u\,x)\,e^{u} = x\bigl(1 + u\,e^u\bigr),
x\,e^{y/x} = x\,e^u,
dy = u\,dx + x\,du.

Passo 3

Reescrevendo a EDO com essas expressões:
\bigl(x(1 + u\,e^u)\bigr)\,dx \;-\; x\,e^u\,(u\,dx + x\,du) = 0.
Distribuindo:
x\,dx + x\,u\,e^u\,dx \;-\; x\,u\,e^u\,dx \;-\; x^2\,e^u\,du = 0.
Os termos x\,u\,e^u\,dx se cancelam, restando
x\,dx - x^2\,e^u\,du = 0.

Passo 4

Separe variáveis em x e u. Divida por x^2:
\frac{x\,dx}{x^2} - e^u\,du = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} = e^u\,du.
Agora integre ambos os lados:
\int \frac{dx}{x} = \int e^u\,du \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert x\rvert = e^u + C.

Passo 5

Volte à variável original y, lembrando u = y/x:
\ln\lvert x\rvert = e^{y/x} + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert x\rvert - e^{y/x} = C'
(com C'=-C, constante arbitrária). Essa é a solução implícita geral.

Passo 6

Verificação rápida: defina
F(x,y) = \ln\lvert x\rvert - e^{y/x}.
Então
dF = \frac{dx}{x} - e^{y/x}\,d\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).
Como
d\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2},
segue
dF = \frac{dx}{x} - e^{y/x}\,\frac{x\,dy - y\,dx}{x^2} = \frac{x\,dx - x\,e^{y/x}\,dy + y\,e^{y/x}\,dx}{x^2}.
Multiplicando por x^2 recuperamos
\bigl(x + y\,e^{y/x}\bigr)\,dx - x\,e^{y/x}\,dy = 0,
que é exatamente a EDO original. Logo F(x,y)=C' é solução.

Resposta

\boxed{\ln\lvert x\rvert - e^{y/x} = C.}

Exercícios relacionados