Obter as soluções gerais das EDO de 1{ }^{a} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO lineares de 1^{\text {a }} ordem, redutíveis à forma exata)
x y^{\prime}+(3 x+1) y=e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
x\,y'(x)+(3x+1)\,y(x)=e^{-3x}
que é linear em y. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
y'(x)+P(x)\,y(x)=Q(x).
Dividindo ambos os lados por x (supondo x\neq0), obtemos
y'(x)+\bigl(3+\tfrac1x\bigr)\,y(x)=\frac{e^{-3x}}{x}.
Logo
P(x)=3+\tfrac1x, \quad Q(x)=\frac{e^{-3x}}{x}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\!\Bigl(\int\!3+\tfrac1x\,dx\Bigr) =\exp\bigl(3x+\ln x\bigr) =x\,e^{3x}.

Passo 4

Multiplicamos a EDO padrão por \mu(x):
x e^{3x}\,y'(x)+(3x+1)e^{3x}\,y(x) =\;e^{3x}\,\frac{e^{-3x}}{x}\;=\;1.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \mu(x)\,y(x), pois
\frac{d}{dx}\bigl(xe^{3x}\,y(x)\bigr) =x e^{3x}\,y'(x)+(3x+1)e^{3x}\,y(x).
Assim a EDO vira
\frac{d}{dx}\bigl(xe^{3x}\,y(x)\bigr)=1.

Passo 5

Integramos em x:
xe^{3x}\,y(x)=\int 1\,dx = x + C,
onde C é constante de integração. Portanto
y(x)=\frac{x+C}{x\,e^{3x}} =\frac{x}{x\,e^{3x}}+\frac{C}{x\,e^{3x}} =e^{-3x}+C\,\frac{e^{-3x}}{x}.

Passo 6

Para verificar, definimos
y(x)=e^{-3x}+C\,\frac{e^{-3x}}{x},
calculamos
y'(x)=-3e^{-3x} + C\Bigl(-\tfrac1{x^2}e^{-3x}-\tfrac{3}{x}e^{-3x}\Bigr),
então
x\,y'(x)+(3x+1)y(x) =e^{-3x},
confirmando que a solução geral encontrada satisfaz a EDO original.

Resposta

\boxed{y(x)=e^{-3x}+C\,\frac{e^{-3x}}{x},\quad C\in\mathbb{R}.}

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