Obter as soluções gerais das EDO de 1{ }^{a} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO lineares de 1^{\text {a }} ordem, redutíveis à forma exata)
y^{\prime}-3 x^{2} y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
y' - 3x^2\,y = x^2
e verificar a solução obtida. Aqui o conteúdo é “equação linear de 1ª ordem” e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) = -3x^2 e q(x)=x^2. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -3x^2\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-x^3\bigr).

Passo 3

Multiplicamos a EDO por \mu(x)=e^{-x^3} e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
e^{-x^3}y' -3x^2e^{-x^3}y = \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x^3}\bigr).
Assim a equação torna-se
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x^3}\bigr) = x^2\,e^{-x^3}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x^3}\bigr)\,dx = \int x^2\,e^{-x^3}\,dx.
Para o lado direito usamos u=-x^3, du=-3x^2\,dx, logo
\int x^2\,e^{-x^3}\,dx = -\tfrac13\int e^{u}\,du = -\tfrac13e^{u}+C = -\tfrac13e^{-x^3}+C.
Portanto
y\,e^{-x^3} = -\tfrac13e^{-x^3} + C.

Passo 5

Isolando y obtemos a solução geral
y(x) = -\tfrac13 + C\,e^{x^3}.

Passo 6

Verificação rápida:
y(x) = -\tfrac13 + C\,e^{x^3} \quad\Longrightarrow\quad y'(x) = 0 + C\cdot 3x^2\,e^{x^3} = 3Cx^2e^{x^3}.
Então
y' -3x^2y = 3Cx^2e^{x^3} -3x^2\bigl(-\tfrac13 + C\,e^{x^3}\bigr) =3Cx^2e^{x^3} + x^2 -3Cx^2e^{x^3} = x^2,
que coincide com o termo do lado direito da EDO. Está verificado.

Resposta

y(x) = C\,e^{x^3} - \tfrac13,\quad C\in\mathbb{R}.

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