Obter as soluções gerais das EDO de 1^{\text {a }} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO de 1^{\text {a }} ordem exatas)
\left(2 x+x^{4} e^{x} e^{y}+4 x^{3} e^{x} e^{y}\right) d x=\left(-x^{4} e^{x} e^{y}-2 y\right) d y

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem exata
\bigl(2x + x^{4}e^{x}e^{y} + 4x^{3}e^{x}e^{y}\bigr)\,dx \;=\;\bigl(-x^{4}e^{x}e^{y}-2y\bigr)\,dy
Colocando em forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, temos
M(x,y)=2x + x^{4}e^{x}e^{y}+4x^{3}e^{x}e^{y}, \quad N(x,y)=x^{4}e^{x}e^{y}+2y.
Verificamos a exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} = x^{4}e^{x}e^{y} +4x^{3}e^{x}e^{y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = e^{y}\,\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}e^{x}\bigr) = x^{4}e^{x}e^{y}+4x^{3}e^{x}e^{y},
logo \partial M/\partial y = \partial N/\partial x e a equação é exata.

Passo 2

Procuramos uma função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_{x}=M. Integramos M em x:
\varphi(x,y) =\int\bigl(2x + x^{4}e^{x}e^{y}+4x^{3}e^{x}e^{y}\bigr)\,dx =x^{2} + e^{y}\int\bigl(x^{4}e^{x}+4x^{3}e^{x}\bigr)\,dx + h(y).
Como
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}e^{x}\bigr) =x^{4}e^{x}+4x^{3}e^{x},
temos
\varphi(x,y)=x^{2}+x^{4}e^{x}e^{y}+h(y).

Passo 3

Agora exigimos \phi_{y}=N. Calculamos
\phi_{y} = x^{4}e^{x}e^{y} + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=x^{4}e^{x}e^{y}+2y. Assim
h'(y)=2y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y^{2}+C_{1}.

Passo 4

Substituindo em \varphi e absorvendo a constante em C, obtemos a solução implícita geral
x^{2} + y^{2} + x^{4}e^{x}e^{y} = C.

Passo 5

Para verificar, basta calcular
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}+x^{4}e^{x}e^{y}\bigr) =2x + x^{4}e^{x}e^{y}+4x^{3}e^{x}e^{y}=M
e
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}+x^{4}e^{x}e^{y}\bigr) =2y + x^{4}e^{x}e^{y}=N,
confirmando que a relação encontrada é de fato solução da EDO exata.

Resposta

x^{2} + y^{2} + x^{4}e^{x}e^{y} = C.

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