Uma onda se propagando em uma corda tensionada é descrita pela função (em unidade do SI ):
y(x, t)=overbrace0,350^A cos (-overbrace10 pi^omega t+widetilde3 pi x+stackrel ఓ pi4)
Qual é a posição do elemento da corda em x=0,1 m quando t=0?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda que se propaga numa corda tensionada, descrita pela função . Nosso objetivo é descobrir a posição do elemento da corda em metro quando o tempo . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função que descreve a onda e saber como substituir os valores de e nela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da função da onda. A função geral de uma onda pode ser escrita como:
y(x, t) = A cos(omega t + kx + phi)
Onde:
  • é a amplitude da onda.
  • é a frequência angular.
  • é o número de onda.
  • é a fase inicial.
No nosso caso, temos:
  • metros (a altura máxima da oscilação da corda).
  • rad/s (a frequência angular, o sinal negativo indica direção da propagação, mas para nosso cálculo isso não afeta).
  • rad/m (o número de onda).
  • rad (a fase inicial).

Passo 3

Agora, queremos encontrar a posição y(0,1, 0) = 0,350 cos(-10pi cdot 0 + 3pi cdot 0,1 + pi4) quando y(0,1, 0) = 0,350 cos(0 + 0,3pi + pi4) m e . Vamos substituir esses valores na função da onda.
Substituindo :
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, somamos os ângulos dentro do cosseno:
0,3pi + pi4 = 3pi10 + pi4 = 12pi + 10pi40 = 22pi40 = 11pi20
Então:
y(0,1, 0) = 0,350 cos(11pi20)

Passo 5

Vamos calcular o valor do cosseno de cos(11pi20) approx cos(99^circ) approx -0,156434 . Usando uma calculadora:

Passo 6

Multiplicando pela amplitude:
y(0,1, 0) = 0,350 times (-0,156434) approx -0,054252 metros

Resposta

A posição do elemento da corda em m quando é aproximadamente metros.

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