onde
, chamado de Laplaciano de
.
8. Em cada item abaixo calcule as derivadas direcionais de
especificadas:
(b)
em um ponto genérico da superfície
na direção do vetor normal unitário que aponta para fora, neste ponto da superfície.
8. Em cada item abaixo calcule as derivadas direcionais de
(b)
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos a derivada direcional de
em um ponto genérico da esfera
, na direção do vetor normal unitário que aponta para fora. Para isso precisamos do conceito de gradiente de
e de vetor normal unitário à superfície.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
. Por definição,
Como
, temos
logo
Passo 3
Na esfera de raio
, o vetor normal não unitário que aponta para fora é
. Como seu comprimento é
, o vetor normal unitário exterior é
Passo 4
A derivada direcional de
na direção de
é dada por
Substituindo:
Resposta
A derivada direcional de
na direção do vetor normal exterior é