onde Delta u=u_{x x}+u_{y y}, chamado de Laplaciano de u.
8. Em cada item abaixo calcule as derivadas direcionais de f especificadas:
(b) f(x, y, z)=x^{2}-y^{2} em um ponto genérico da superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 na direção do vetor normal unitário que aponta para fora, neste ponto da superfície.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a derivada direcional de f(x,y,z)=x^2 - y^2 em um ponto genérico da esfera x^2+y^2+z^2=4, na direção do vetor normal unitário que aponta para fora. Para isso precisamos do conceito de gradiente de f e de vetor normal unitário à superfície.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Por definição,
\nabla f(x,y,z) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\Bigr).
Como f(x,y,z)=x^2-y^2, temos
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=-2y,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=0,
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\nabla f(x,y,z) = (2x,\,-2y,\,0).

Passo 3

Na esfera de raio 2 x^2+y^2+z^2=4, o vetor normal não unitário que aponta para fora é (x,y,z). Como seu comprimento é \sqrt{x^2+y^2+z^2}=2, o vetor normal unitário exterior é
\mathbf{n} = \frac{1}{2}(x,y,z) = \bigl(\tfrac{x}{2},\,\tfrac{y}{2},\,\tfrac{z}{2}\bigr).

Passo 4

A derivada direcional de f na direção de \mathbf{n} é dada por
D_{\mathbf{n}}f = \nabla f\cdot\mathbf{n}.
Substituindo:
D_{\mathbf{n}}f = (2x,\,-2y,\,0)\cdot\bigl(\tfrac{x}{2},\,\tfrac{y}{2},\,\tfrac{z}{2}\bigr) =2x\cdot\tfrac{x}{2} + (-2y)\cdot\tfrac{y}{2} + 0\cdot\tfrac{z}{2} = x^2 - y^2.

Resposta

A derivada direcional de f na direção do vetor normal exterior é
D_{\mathbf{n}}f = x^2 - y^2.

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