Ônibus chegam em uma determinada parada em intervalos de 15 minutos começando às 7:00. Isto é, eles chegam às 7:00, 7:15, 7:30, 7:45, e assim por diante. Se um passageiro chega na parada em um instante de tempo que é uniformemente distribuído entre 7:00 e 7:30, determine a probabilidade de que ele espere.
menos de 5 minutos por um ônibus;

Passo 1

O enunciado: ônibus chegam à parada em intervalos de 15 minutos começando às 7{:}00. Ou seja, chegam em 7{:}00, 7{:}15, 7{:}30, … O passageiro chega em um instante de tempo que é uniformemente distribuído entre 7{:}00 e 7{:}30. A pergunta é: qual é a probabilidade de que ele espere menos de 5 minutos por um ônibus?
Informações relevantes dadas:
  • Intervalo entre ônibus: \,15 minutos (chegadas periódicas em 7{:}00,7{:}15,7{:}30).
  • Tempo de chegada do passageiro é uniforme no intervalo de 7{:}00 até 7{:}30 (um intervalo de \,30 minutos).
  • Queremos a probabilidade de espera menor que \,5 minutos.

Passo 2

Modelagem matemática simples e o que significa “uniformemente distribuído”.
Definimos a variável aleatória T como o tempo de chegada do passageiro, medido em minutos após 7{:}00. Assim
T\sim\text{Uniforme}\bigl(0,30\bigr),
ou seja, T é igualmente provável em qualquer subintervalo de [0,30]. Isso significa que a probabilidade de T cair em qualquer subintervalo é proporcional ao comprimento desse subintervalo. Por exemplo, a probabilidade de cair num intervalo de comprimento 10 minutos é \tfrac{10}{30}.
Explicação intuitiva: quando algo é uniformemente distribuído num intervalo, pensar em comprimentos é suficiente — mais comprido = mais provável.

Passo 3

Definir a variável “tempo de espera” W em função de T.
Dentro do intervalo [0,30) temos duas janelas de ônibus: de 0 a 15 (próximo ônibus em 15) e de 15 a 30 (próximo ônibus em 30). O tempo de espera é o tempo até o próximo ônibus, então podemos escrever W de forma peça a peça:
\text{Se }0\le T<15,\quad W=15-T.
\text{Se }15\le T<30,\quad W=30-T.
Comentário didático: isso vem do raciocínio “quanto falta até o próximo múltiplo de 15 minutos”. Por exemplo, se você chega 4 minutos após 7{:}00 ( T=4), o próximo ônibus é às 7{:}15 e você espera 15-4=11 minutos.

Passo 4

Encontrar os T tais que W<5.
Usamos as expressões do passo anterior e resolvemos as desigualdades.
Para 0\le T<15:
15-T<5 \;\Longrightarrow\; T>10.
Então na primeira janela os valores favoráveis de T são 10<T<15, que é um intervalo de comprimento 5 minutos.
Para 15\le T<30:
30-T<5 \;\Longrightarrow\; T>25.
Então na segunda janela os valores favoráveis de T são 25<T<30, também um intervalo de comprimento 5 minutos.
Observação sobre fronteiras: pontos exatos T=10 ou T=25 dão W=5, mas pontos isolados têm probabilidade zero no contínuo, então não alteram o resultado.

Passo 5

Calcular a probabilidade usando o fato de T ser uniforme.
A união dos intervalos favoráveis é (10,15)\cup(25,30). O comprimento total favorável é
5+5=10\\ \text{minutos}.
O comprimento do espaço amostral é 30 minutos. Para distribuição uniforme:
\Pr\bigl(W<5\bigr)=\frac{\text{comprimento favorável}}{\text{comprimento total}}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}.á

Passo 6

Interpretação e verificação intuitiva.
Intuitivamente, em cada ciclo de 15 minutos há exatamente 5 minutos nos quais, se você chegar, a espera será menor que 5 minutos (os últimos 5 minutos antes do ônibus). Como temos dois ciclos dentro de 30 minutos, são 2\times5=10 minutos favoráveis em 30 minutos totais, daí a fração \tfrac{1}{3}. Numericamente, isso é aproximadamente 0{,}333, ou cerca de 33{,}3\%.

Resposta

\tfrac{1}{3}

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