Ônibus chegam em uma determinada parada em intervalos de 15 minutos começando às 7:00. Isto é, eles chegam às 7:00, 7:15, 7:30, 7:45, e assim por diante. Se um passageiro chega na parada em um instante de tempo que é uniformemente distribuído entre 7:00 e 7:30, determine a probabilidade de que ele espere.
menos de 5 minutos por um ônibus;
menos de 5 minutos por um ônibus;
Passo 1
O enunciado: ônibus chegam à parada em intervalos de
minutos começando às
. Ou seja, chegam em
,
,
, … O passageiro chega em um instante de tempo que é uniformemente distribuído entre
e
. A pergunta é: qual é a probabilidade de que ele espere menos de
minutos por um ônibus?
Informações relevantes dadas:
- Intervalo entre ônibus:
minutos (chegadas periódicas em ). - Tempo de chegada do passageiro é uniforme no intervalo de
até (um intervalo de minutos). - Queremos a probabilidade de espera menor que
minutos.
Passo 2
Modelagem matemática simples e o que significa “uniformemente distribuído”.
Definimos a variável aleatória
como o tempo de chegada do passageiro, medido em minutos após
. Assim
ou seja,
é igualmente provável em qualquer subintervalo de
. Isso significa que a probabilidade de
cair em qualquer subintervalo é proporcional ao comprimento desse subintervalo. Por exemplo, a probabilidade de cair num intervalo de comprimento
minutos é
.
Explicação intuitiva: quando algo é uniformemente distribuído num intervalo, pensar em comprimentos é suficiente — mais comprido = mais provável.
Passo 3
Definir a variável “tempo de espera”
em função de
.
Dentro do intervalo
temos duas janelas de ônibus: de
a
(próximo ônibus em
) e de
a
(próximo ônibus em
). O tempo de espera é o tempo até o próximo ônibus, então podemos escrever
de forma peça a peça:
Comentário didático: isso vem do raciocínio “quanto falta até o próximo múltiplo de
minutos”. Por exemplo, se você chega
minutos após
(
), o próximo ônibus é às
e você espera
minutos.
Passo 4
Encontrar os
tais que
.
Usamos as expressões do passo anterior e resolvemos as desigualdades.
Para
:
Então na primeira janela os valores favoráveis de
são
, que é um intervalo de comprimento
minutos.
Para
:
Então na segunda janela os valores favoráveis de
são
, também um intervalo de comprimento
minutos.
Observação sobre fronteiras: pontos exatos
ou
dão
, mas pontos isolados têm probabilidade zero no contínuo, então não alteram o resultado.
Passo 5
Calcular a probabilidade usando o fato de
ser uniforme.
A união dos intervalos favoráveis é
. O comprimento total favorável é
O comprimento do espaço amostral é
minutos. Para distribuição uniforme:
Passo 6
Interpretação e verificação intuitiva.
Intuitivamente, em cada ciclo de
minutos há exatamente
minutos nos quais, se você chegar, a espera será menor que
minutos (os últimos
minutos antes do ônibus). Como temos dois ciclos dentro de
minutos, são
minutos favoráveis em
minutos totais, daí a fração
. Numericamente, isso é aproximadamente
, ou cerca de
.