Desenvolva expressões para o cálculo dos diâmetros de esferas equivalentes d_{p}, d_{s} e d_{A} para os seguintes sólidos de geometria simples:
Hemisfério de diâmetro D.

Passo 1

Estamos com um hemisfério de diâmetro D e queremos encontrar
• o diâmetro de esfera de mesmo volume, d_{p} (diâmetro volumétrico equivalente);
• o diâmetro de esfera de mesma área de superfície, d_{s} (diâmetro superficial equivalente);
• o diâmetro aerodinâmico equivalente, d_{A}, definindo-se como o diâmetro da esfera de densidade unitária que tem a mesma velocidade de sedimentação que o nosso hemisfério. Para isso vamos usar as fórmulas de volume e área de hemisfério e a definição de d_{A} em função de d_{p}, da densidade do material e do fator de forma dinâmico \chi.

Passo 2

Volume do hemisfério de raio r=D/2:
V_H = \frac{2}{3}\,\pi\,r^3 = \frac{2}{3}\,\pi \Bigl(\frac{D}{2}\Bigr)^3 = \frac{\pi\,D^3}{12}.
Definição de d_{p}: esfera de volume igual, ou seja
\frac{\pi}{6}\,d_{p}^3 = V_H = \frac{\pi\,D^3}{12} \quad\Longrightarrow\quad d_{p}^3 = \frac{D^3}{2} \quad\Longrightarrow\quad d_{p} = \frac{D}{2^{1/3}}.

Passo 3

Área total de superfície do hemisfério (curva + base):
A_H = 2\pi\,r^2 \;(\text{curva})\;+\;\pi\,r^2\;(\text{base}) = 3\,\pi\,(D/2)^2 = \frac{3\pi\,D^2}{4}.
Definição de d_{s}: esfera com mesma área, ou seja
\pi\,d_{s}^2 = A_H = \frac{3\pi\,D^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad d_{s}^2 = \frac{3\,D^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad d_{s} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,D.

Passo 4

Diâmetro aerodinâmico d_{A}: por definição
d_{A}^2\,\rho_{0} = \frac{d_{p}^2\,\rho_{p}}{\chi},
onde \rho_{p} é a densidade do hemisfério, \rho_{0} a densidade de referência (unitária) e \chi o fator de forma dinâmico. Logo
d_{A} = d_{p}\,\sqrt{\frac{\rho_{p}}{\rho_{0}\,\chi}} = \frac{D}{2^{1/3}}\;\sqrt{\frac{\rho_{p}}{\rho_{0}\,\chi}}.

Resposta

d_{p} = \dfrac{D}{2^{1/3}},\quad d_{s} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,D,\quad d_{A} = \dfrac{D}{2^{1/3}}\,\sqrt{\dfrac{\rho_{p}}{\rho_{0}\,\chi}}.