Um detergente secado por pulverização tem a seguinte análise granulométrica em peneira:
Malha de peneira Tyler & Fração poderal
-10+14 & 0,02
-14+20 & 0,17
-20+28 & 0,34
-28+35 & 0,22
-35+48 & 0,14
-48+65 & 0,06
-65+100 & 0,03
-100 & 0,02
(a) Organizar esta informação num histograma, num gráfico de frações acumuladas e num gráfico de frações relativas.
(b) Determinar o diâmetro médio areolar e o diâmetro médio volumar do material.

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição granulométrica, em frações de massa f_i, retida nas malhas Tyler indicadas. Precisamos (a) organizar esses dados em (i) um histograma de frequências absolutas (frações f_i), (ii) o gráfico de frações acumuladas e (iii) o gráfico de frequências relativas (densidade de frequência); e (b) calcular o diâmetro médio areolar ( d_{32}) e o diâmetro médio volumar ( d_{43}) a partir dessas frações, assumindo densidade constante (fração de massa \approx fração de volume).

Passo 2

Para cada classe “malha–malha”, atribuímos a abertura superior d_{\text{sup}} e inferior d_{\text{inf}} em milímetros (tabela Tyler) e calculamos a largura \Delta d_i = d_{\text{sup},i}-d_{\text{inf},i} e o ponto médio d_i = (d_{\text{sup},i}+d_{\text{inf},i})/2:
\begin{array}{l|cccc} \text{Classe} & d_{\text{sup}}\,(\text{mm}) & d_{\text{inf}}\,(\text{mm}) & \Delta d_i\,(\text{mm}) & d_i\,(\text{mm})\\hline -10+14 & 2{,}00 & 1{,}41 & 0{,}59 & 1{,}705\\\\ -14+20 & 1{,}41 & 0{,}84 & 0{,}57 & 1{,}125\\\\ -20+28 & 0{,}84 & 0{,}60 & 0{,}24 & 0{,}720\\\\ -28+35 & 0{,}60 & 0{,}50 & 0{,}10 & 0{,}550\\\\ -35+48 & 0{,}50 & 0{,}30 & 0{,}20 & 0{,}400\\\\ -48+65 & 0{,}30 & 0{,}21 & 0{,}09 & 0{,}255\\\\ -65+100& 0{,}21 & 0{,}15 & 0{,}06 & 0{,}180\\\\ -100 & 0{,}15 & 0{,}00 & 0{,}15 & 0{,}075 \end{array}
e as frações f_i:
\{0{,}02,\;0{,}17,\;0{,}34,\;0{,}22,\;0{,}14,\;0{,}06,\;0{,}03,\;0{,}02\}.

Passo 3

O histograma de frequências absolutas usa no eixo x as classes [d_{\text{inf},i},d_{\text{sup},i}] e no eixo y as alturas f_i. Numa barra de largura \Delta d_i centrada em d_i, a altura vale f_i. Em prática, montaríamos um gráfico de barras com as 8 classes, usando os pares (d_i,f_i) e larguras \Delta d_i.

Passo 4

A fração acumulada F_i (cumulativa de maior para menor, ou vice-versa) obtém-se somando progressivamente os f_i. Exemplo acumulado do maior para o menor diâmetro:
F_1=0{,}02,\;F_2=0{,}02+0{,}17=0{,}19,\;\ldots,\;F_8=1{,}00.
O gráfico de F_i vs. d_i é a curva de distribuição acumulada.

Passo 5

A frequência relativa por unidade de largura (densidade de frequência) é
\varphi_i = \frac{f_i}{\Delta d_i}\,,
o que se plota como gráfico de (d_i,\varphi_i). Isso evidencia concentrações em intervalos mais estreitos.

Passo 6

Para calcular os diâmetros médios definimos, com frações f_i \approx frações de volume:
d_{32} = \frac{\sum_i f_i\,d_i^3}{\sum_i f_i\,d_i^2}, \qquad d_{43} = \frac{\sum_i f_i\,d_i^4}{\sum_i f_i\,d_i^3}.

Passo 7

Usando os valores de d_i e f_i da tabela:
\sum_i f_i\,d_i^2 = 0{,}5436,\quad \sum_i f_i\,d_i^3 = 0{,}5147,\quad \sum_i f_i\,d_i^4 = 0{,}5567.
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d_{32} = \frac{0{,}5147}{0{,}5436} \approx 0{,}947\text{ mm}, \qquad d_{43} = \frac{0{,}5567}{0{,}5147} \approx 1{,}082\text{ mm}.

Resposta

O histograma de f_i, o gráfico de F_i e o gráfico de \varphi_i são obtidos conforme descrito, e os diâmetros médios resultam em
d_{32}\approx 0{,}95\text{ mm}, \qquad d_{43}\approx 1{,}08\text{ mm}.