O gás a é solúvel no líquido c mas o gás b é completamente insolúvel. A relação de solubilidade é y_{\mathrm{a}}=M x_{\mathrm{a}}, onde M é a constante da lei de Henry. Trace as retas de operação e as curvas de equilíbrio para as seguintes situaçōes e complete o cálculo mencionado em cada caso:
(a) São conhecidos L_{0} V_{N+1}, x_{0} y_{N+1} e x_{N}. Calcular N para uma absorção do gás.
(b) Repetir (a) para uma extração.
(c) Calcular a composição do gás efluente de um absorvedor equivalente a N estágios de equilíbrio, sendo dados L_{c} x_{a} V_{N+1}, y_{N+1} \in N.
(d) São dados L_{0}, X_{0}, X_{N} \in y_{N+}. Calcular a composição mais baixa do gás efluente que se pode atingir na absorção de gás.

Passo 1

O problema trata de um sistema de contato gás-líquido em estágios (absorvedor ou extrator), em que só o componente a é solúvel no líquido c, obedecendo à lei de Henry
y = M\,x,
enquanto o componente b é totalmente insolúvel. Vamos traçar no diagrama y versus x a curva de equilíbrio y=Mx e as linhas de operação, e depois usar a equação de Kremser para (a) e (b) obter o número de estágios teóricos N, em (c) calcular a composição do gás efluente para dado N, e em (d) achar a composição mínima atingível no produto gás quando N\to\infty.

Passo 2

Equação da curva de equilíbrio:
y = M\,x.
Para absorção (líquido entra em x_0 com vazão L_0, gás sai em y_{N+1} com vazão V_{N+1}), a linha de operação é a reta que passa por (x_0,y_{N+1}) e por (x_1,y_1). Em particular, em (x_0,y_1) vale
y_1 \;=\;\frac{L_0}{V_{N+1}}\,x_0 \;+\;y_{N+1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{L_0}{V_{N+1}} =\frac{y_1 - y_{N+1}}{x_0}\,.

Passo 3

Defina ainda o parâmetro
a \;=\;\frac{L_0}{V_{N+1}}\,M.
A equação de Kremser para absorção em N estágios é
\frac{y_{N+1}-M\,x_0}{y_1 - M\,x_0} \;=\; \frac{a^N - 1}{a^{N+1} - 1}.

Passo 4

Para o item (a) basta isolar N. Seja
R = \frac{y_{N+1}-M\,x_0}{y_1 - M\,x_0}.
Da equação acima segue
a^N = \frac{1 - R}{1 - a\,R} \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{\ln\!\bigl(\tfrac{1-R}{1 - a\,R}\bigr)}{\ln a}.

Passo 5

Em extração (papéis de L e V trocados), define-se
a' = \frac{V_{N+1}}{L_0}\,M,
e a equação de Kremser torna-se
\frac{x_{N}-\tfrac{y_1}{M}}{x_0 - \tfrac{y_1}{M}} \;=\; \frac{{a'}^{N} - 1}{{a'}^{N+1} - 1}.
Chamando
R' = \frac{x_{N}-\tfrac{y_1}{M}}{x_0 - \tfrac{y_1}{M}},
temos
{a'}^N = \frac{1 - R'}{1 - a'\,R'} \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{\ln\!\bigl(\tfrac{1-R'}{1 - a'\,R'}\bigr)}{\ln a'}.

Passo 6

Item (c): para um absorvedor equivalente a N estágios, a composição do gás efluente y_{N+1} é dada diretamente pela forma resolvida da Kremser:
y_{N+1} = M\,x_0 \;+\; \frac{a^N - 1}{a^{N+1} - 1}\,\bigl(y_1 - M\,x_0\bigr).

Passo 7

Item (d): a composição mínima do gás efluente ocorre no limite N\to\infty. Como
\lim_{N\to\infty}\frac{a^N - 1}{a^{N+1} - 1} = \frac1a,
fica
y_{\min} = M\,x_0 \;+\; \frac{1}{a}\,\bigl(y_1 - M\,x_0\bigr) = M\,x_0 \;+\; \frac{V_{N+1}}{L_0\,M}\,\bigl(y_1 - M\,x_0\bigr).

Resposta

(a)
N = \frac{\ln\!\Bigl(\frac{1 - R}{1 - a\,R}\Bigr)}{\ln a} \quad\text{com}\quad a = \frac{L_0}{V_{N+1}}\,M, \quad R = \frac{y_{N+1}-M\,x_0}{y_1 - M\,x_0}.
(b)
N = \frac{\ln\!\Bigl(\frac{1 - R'}{1 - a'\,R'}\Bigr)}{\ln a'} \quad\text{com}\quad a' = \frac{V_{N+1}}{L_0}\,M, \quad R' = \frac{x_{N}-\tfrac{y_1}{M}}{x_0 - \tfrac{y_1}{M}}.
(c)
y_{N+1} = M\,x_0 \;+\; \frac{a^N - 1}{a^{N+1} - 1}\,\bigl(y_1 - M\,x_0\bigr).
(d)
y_{\min} = M\,x_0 \;+\; \frac{V_{N+1}}{L_0\,M}\,\bigl(y_1 - M\,x_0\bigr).

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