Imaginemos um cubo em coordenadas cartesianas ortogonais.
(a) Escrever uma expressão para as dimensões da área de cada uma das seis faces do cubo, considerando o comprimento como um vetor.
(b) Escrever uma expressão para as dimensões do volume do cubo.
(a) Escrever uma expressão para as dimensões da área de cada uma das seis faces do cubo, considerando o comprimento como um vetor.
(b) Escrever uma expressão para as dimensões do volume do cubo.
Passo 1
O enunciado pede expressar vetorialmente a área de cada face de um cubo e o volume do cubo em coordenadas cartesianas, tomando as arestas como vetores. Vamos usar como conteúdo principal o produto vetorial (para área) e o produto escalar triplo (para volume).
Passo 2
Denotemos por
,
e
os vetores que representam as três arestas que saem de um mesmo vértice do cubo, orientados ao longo dos eixos
,
e
. Cada um tem módulo igual ao comprimento da aresta, digamos
.
Passo 3
Para a face formada pelas arestas
e
, a área vetorial é dada pelo produto vetorial
Como o cubo tem seis faces, obtemos três pares de faces opostas, cujas áreas vetoriais são
Passo 4
O volume do paralelepípedo ortogonal (no caso, cubo) formado por
,
e
é dado pelo produto escalar triplo
Em módulo, isso equivale a
, mas a expressão vetorial completa é o escalar acima.
Resposta
Área das seis faces:
Volume do cubo: