Imaginemos um cubo em coordenadas cartesianas ortogonais.
(a) Escrever uma expressão para as dimensões da área de cada uma das seis faces do cubo, considerando o comprimento como um vetor.
(b) Escrever uma expressão para as dimensões do volume do cubo.

Passo 1

O enunciado pede expressar vetorialmente a área de cada face de um cubo e o volume do cubo em coordenadas cartesianas, tomando as arestas como vetores. Vamos usar como conteúdo principal o produto vetorial (para área) e o produto escalar triplo (para volume).

Passo 2

Denotemos por \mathbf{L}_1, \mathbf{L}_2 e \mathbf{L}_3 os vetores que representam as três arestas que saem de um mesmo vértice do cubo, orientados ao longo dos eixos x, y e z. Cada um tem módulo igual ao comprimento da aresta, digamos L.

Passo 3

Para a face formada pelas arestas \mathbf{L}_i e \mathbf{L}_j, a área vetorial é dada pelo produto vetorial
\mathbf{A}_{ij} \;=\;\mathbf{L}_i \times \mathbf{L}_j.
Como o cubo tem seis faces, obtemos três pares de faces opostas, cujas áreas vetoriais são
\pm\bigl(\mathbf{L}_1\times\mathbf{L}_2\bigr), \quad \pm\bigl(\mathbf{L}_2\times\mathbf{L}_3\bigr), \quad \pm\bigl(\mathbf{L}_3\times\mathbf{L}_1\bigr).

Passo 4

O volume do paralelepípedo ortogonal (no caso, cubo) formado por \mathbf{L}_1, \mathbf{L}_2 e \mathbf{L}_3 é dado pelo produto escalar triplo
\mathcal{V} \;=\; \mathbf{L}_1\;\cdot\;\bigl(\mathbf{L}_2\times\mathbf{L}_3\bigr).
Em módulo, isso equivale a L^3, mas a expressão vetorial completa é o escalar acima.

Resposta

Área das seis faces:
\pm\bigl(\mathbf{L}_1\times\mathbf{L}_2\bigr), \quad \pm\bigl(\mathbf{L}_2\times\mathbf{L}_3\bigr), \quad \pm\bigl(\mathbf{L}_3\times\mathbf{L}_1\bigr).
Volume do cubo:
\mathcal{V} = \mathbf{L}_1\cdot\bigl(\mathbf{L}_2\times\mathbf{L}_3\bigr).