Usa-se um elemento calefator de 500 W para aquecer o ar que flui a 3 \mathrm{~m}^{3} / "), Usa-se um elemento calefator de 500 W para aquecer o ar que flui a \(3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min} num tubo de 30 mm (espessura da parede 2,6 \mathrm{~mm} ), a 20^{\circ} \mathrm{C}, sob pressáo de 200 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}. Quando o ar sai do calefator a sua pressão é de 110 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}. Qual é a temperatura do ar efluente?)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um escoamento de ar que entra a T_1=20^\circ\mathrm{C} (ou seja, 293\\ \mathrm{K}) e pressão p_1=200\\ \mathrm{kN/m^2}. O vazão volumétrica é de 3\\ \mathrm{m^3/min}. Um elemento calefator fornece \dot{Q}=500\\ \mathrm{W} ao ar, e na saída a pressão cai para p_2=110\\ \mathrm{kN/m^2}. Queremos a temperatura de saída T_2. O conteúdo é balanço de energia em escoamento permanente de gás ideal.

Passo 2

Calcular a vazão mássica \dot m. Primeiro convertemos a vazão volumétrica para o SI:
\dot V = 3\\ \mathrm{m^3/min} = \frac{3}{60}\\ \mathrm{m^3/s} = 0,05\\ \mathrm{m^3/s}.
Em seguida, usamos a equação de estado do gás ideal para achar a densidade na entrada:
\rho_1 = \frac{p_1}{R\,T_1},
adotando R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Substituindo
\rho_1 = \frac{200\,000\\ \mathrm{Pa}}{287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\times 293\\ \mathrm{K}} \approx 2{,}38\\ \mathrm{kg/m^3}.
Logo
\dot m = \rho_1\,\dot V \approx 2{,}38\\ \mathrm{kg/m^3}\times 0{,}05\\ \mathrm{m^3/s} =0{,}119\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Aplicar o balanço de energia para escoamento permanente, desprezando variações de energia cinética e potencial e trabalho de eixo. Fica
\dot{Q} = \dot{m}\,(h_2 - h_1).
Para gás ideal h = c_p\,T, portanto
h_2 - h_1 = c_p\,(T_2 - T_1) \quad\Longrightarrow\quad T_2 - T_1 = \frac{\dot{Q}}{\dot{m}\,c_p}.
Adotando c_p = 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, temos
T_2 - T_1 = \frac{500\\ \mathrm{J/s}}{0{,}119\\ \mathrm{kg/s}\times 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}} \approx 4{,}19\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Finalmente, a temperatura de saída é
T_2 = T_1 + (T_2 - T_1) = 293\\ \mathrm{K} + 4{,}19\\ \mathrm{K} \approx 297{,}2\\ \mathrm{K},
isto é, em graus Celsius
T_2 \approx 297{,}2 - 273{,}15 = 24{,}1^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura do ar efluente é aproximadamente 24{,}1^\circ\mathrm{C}.