Um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V se diz positivo definido se, e só se, todos os seus valores próprios são maiores que zero. Supondo a dimensão de V finita, mostrar que: A é positivo definido se, e somente se, 
  para todo vetor não nulo 
 .
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A questão fala sobre operadores auto-adjuntos em um espaço euclidiano 
  de dimensão finita e define o que significa um operador ser positivo definido. Nossa missão é mostrar que um operador 
  é positivo definido se e somente se o produto interno 
  é maior que zero para todo vetor não nulo 
 . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de operadores auto-adjuntos, valores próprios e a definição de positivo definido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador 
  em 
  é auto-adjunto se 
  para todos 
 . Isso garante que 
  tem propriedades que nos facilitam o trabalho com seus valores próprios e vetores próprios.
Passo 3
Agora, a definição de positivo definido: um operador 
  é positivo definido se todos os seus valores próprios são maiores que zero. Em outras palavras, não existe nenhum valor próprio 
  de 
  tal que 
 .
Passo 4
Vamos analisar a condição 
  para todo vetor não nulo 
 . Essa expressão é conhecida como forma quadrática associada a 
 . Ela nos dá uma maneira de relacionar o operador 
  com as propriedades dos vetores em 
 .
Passo 5
Vamos provar a implicação direta: se 
  é positivo definido, então 
  para todo vetor não nulo 
 .
Como 
  é positivo definido, sabemos que todos os seus valores próprios 
 . Se 
  é uma combinação linear dos vetores próprios de 
 , digamos 
 , então:
Pois cada 
  e 
  não é o vetor nulo, então pelo menos um 
  é diferente de zero. Assim, a soma é positiva.
Passo 6
Agora, vamos provar a implicação inversa: se 
  para todo vetor não nulo 
 , então 
  é positivo definido.
Assumimos que para todo 
 , 
 . Como 
  é auto-adjunto, podemos diagonalizá-lo e escrever 
  na base de seus vetores próprios. Assim:
Para que essa soma seja sempre positiva, mesmo que apenas um 
  seja diferente de zero, é necessário que todos os 
 . Portanto, 
  tem todos os valores próprios positivos, o que significa que 
  é positivo definido.
Resposta
Concluímos que um operador auto-adjunto 
  em um espaço euclidiano 
  de dimensão finita é positivo definido se e somente se 
  para todo vetor não nulo 
 .