Um operador A , correspondendo a um observável \alpha, tem dois autoestados normalizados \phi_{1} e \phi_{2}, com autovalores a_{1} e a_{2}. Um operador B, correspondendo a um observável \beta, tem autoestados normalizados \chi_{1} e \chi_{2}, com autovalores b_{1} e b_{2}. Os autoestados estão relacionados por
Fazemos uma medida do observável \alpha e o valor a_{1} é obtido. Se medimos o observável \beta e logo em seguida medimos o observável \alpha novamente, mostre que a probabilidade de obter a_{1} pela segunda vez é 97 / 169 ( \cong 57,4 \% ).
Passo 1
O enunciado trata de duas medições sequenciais em mecânica quântica: primeiro medimos o observável \alpha e obtemos o autovalor a_{1}, de modo que o sistema colapsa para o autoestado \phi_{1}. Em seguida medimos o observável \beta, obtendo b_{1} ou b_{2}, e logo depois medimos \alpha de novo. Nosso objetivo é usar as amplitudes de probabilidade dadas pelas projeções entre os autoestados para calcular a probabilidade total de reaparecer a_{1}.
Passo 2
Desde que o sistema está em \phi_{1} antes da segunda medição, a probabilidade de obter b_{j} ao medir \beta é