Um operador A , correspondendo a um observável \alpha, tem dois autoestados normalizados \phi_{1} e \phi_{2}, com autovalores a_{1} e a_{2}. Um operador B, correspondendo a um observável \beta, tem autoestados normalizados \chi_{1} e \chi_{2}, com autovalores b_{1} e b_{2}. Os autoestados estão relacionados por
\phi_{1}=\left(2 \chi_{1}+3 \chi_{2}\right) / \sqrt{13} \text { e } \phi_{2}=\left(3 \chi_{1}-2 \chi_{2}\right) / \sqrt{13}
Fazemos uma medida do observável \alpha e o valor a_{1} é obtido. Se medimos o observável \beta e logo em seguida medimos o observável \alpha novamente, mostre que a probabilidade de obter a_{1} pela segunda vez é 97 / 169 ( \cong 57,4 \% ).

Passo 1

O enunciado trata de duas medições sequenciais em mecânica quântica: primeiro medimos o observável \alpha e obtemos o autovalor a_{1}, de modo que o sistema colapsa para o autoestado \phi_{1}. Em seguida medimos o observável \beta, obtendo b_{1} ou b_{2}, e logo depois medimos \alpha de novo. Nosso objetivo é usar as amplitudes de probabilidade dadas pelas projeções entre os autoestados para calcular a probabilidade total de reaparecer a_{1}.

Passo 2

Desde que o sistema está em \phi_{1} antes da segunda medição, a probabilidade de obter b_{j} ao medir \beta é
P(b_{j}\mid \phi_{1}) = \bigl|\langle \chi_{j} \mid \phi_{1}\rangle\bigr|^{2} \quad(j=1,2).
Pelas relações
\phi_{1}=\frac{2\,\chi_{1}+3\,\chi_{2}}{\sqrt{13}},
temos
\langle \chi_{1}\mid \phi_{1}\rangle = \frac{2}{\sqrt{13}}, \quad \langle \chi_{2}\mid \phi_{1}\rangle = \frac{3}{\sqrt{13}},
logo
P(b_{1}\mid \phi_{1}) = \frac{4}{13}, \quad P(b_{2}\mid \phi_{1}) = \frac{9}{13}.

Passo 3

Se a medição de \beta deu b_{j}, o estado colapsa para \chi_{j}. A probabilidade de em seguida obter a_{1} ao medir \alpha é
P(a_{1}\mid \chi_{j}) = \bigl|\langle \phi_{1}\mid \chi_{j}\rangle\bigr|^{2} \quad(j=1,2).
Mas como \phi_{1} está relacionado aos \chis da mesma forma, temos
P(a_{1}\mid \chi_{1}) = \frac{4}{13}, \quad P(a_{1}\mid \chi_{2}) = \frac{9}{13}.

Passo 4

Aplicamos a probabilidade total para a segunda medição de \alpha:
P(a_{1}\text{ na 2ª vez}) = \sum_{j=1}^{2}P(b_{j}\mid \phi_{1})\,P(a_{1}\mid \chi_{j}).ª

Passo 5

Substituindo os valores:
P(a_{1}) = \frac{4}{13}\cdot\frac{4}{13} \;+\; \frac{9}{13}\cdot\frac{9}{13} = \frac{16+81}{169} = \frac{97}{169}.

Resposta

A probabilidade de obter a_{1} pela segunda vez é \tfrac{97}{169}\approx57{,}4\%.

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