Se operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \cos y=\frac{4}{5}, onde x e y existem entre 0 e \frac{\pi}{2}, Avalie a expressão.
\operatorname{sen}(x+y)

Passo 1

O enunciado diz que \sin x = \tfrac{1}{3} e \cos y = \tfrac{4}{5}, com x e y no primeiro quadrante \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr). Queremos calcular \sin(x+y). O conteúdo aqui é a soma de ângulos para o seno e vamos precisar também da identidade pitagórica para obter \cos x e \sin y.

Passo 2

A fórmula de soma de ângulos para o seno é:
\sin(x+y) = \sin x \,\cos y \;+\;\cos x \,\sin y.

Passo 3

Como \sin x=\tfrac{1}{3} e x está no primeiro quadrante, usamos a identidade pitagórica:
\cos x = \sqrt{1 - (\sin x)^2} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2} = \sqrt{1 - \tfrac{1}{9}} = \sqrt{\tfrac{8}{9}} = \tfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 4

De modo semelhante, com \cos y=\tfrac{4}{5} e y no primeiro quadrante:
\sin y = \sqrt{1 - (\cos y)^2} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2} = \sqrt{1 - \tfrac{16}{25}} = \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}.

Passo 5

Substituindo na fórmula de \sin(x+y):
\sin(x+y) = \frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{3}{5} = \frac{4}{15} + \frac{6\sqrt{2}}{15} = \frac{4 + 6\sqrt{2}}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{4 + 6\sqrt{2}}{15}

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