6.5 Originalmente, nos tinhamos planejado baixar a atividade de uma corrente gasosa contendo { }^{138} \mathrm{Xe} radioativo (meia-vida =14 \mathrm{~min} ), passando-a através de dois tnques de retenção em serie, ambos com boa agitação e tendo capacidade tal que o TDH do gás é de 2 semanas em cada tanque. Foi sugerido trocar os tanques por um longo tubo (fluxo pistonado). Qual deve ser a capacidade deste tubo comparado com os tanques? Qual deve ser o TDH de residencia do gas no tubo, para o mesmo nivel de decaimento radioativo?

Passo 1

O enunciado descreve dois tanques bem agitados em série (do tipo CSTR), cada um com tempo de detenção hidráulica (TDH) \tau = 2 semanas, pelos quais passa um gás contendo {}^{138}\mathrm{Xe} radioativo (meia-vida t_{1/2}=14 min). Queremos trocar esses dois CSTRs por um tubo de escoamento pistonado (PFR) de modo a obter o mesmo grau de decaimento radioativo. Precisamos então comparar o volume (capacidade) do tubo com o dos tanques e determinar o TDH no tubo que produza a mesma fração de decaimento.

Passo 2

Para decaimento radioativo de primeira ordem temos a constante de decaimento
k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Convertendo t_{1/2}=14 min dá
k = \frac{\ln 2}{14\text{ min}}\approx 0{,}0495\;\text{min}^{-1}.
O TDH de cada tanque é \tau=2 semanas =14 dias =14\times24\times60=20160 min.

Passo 3

Em dois CSTRs em série, a fração que sai viva após cada tanque é
\frac{C_1}{C_0} = \frac{1}{1 + k \tau}, \qquad \frac{C_2}{C_1} = \frac{1}{1 + k \tau},
logo a fração total que sai do segundo tanque é
\frac{C_2}{C_0} = \frac{1}{(1 + k \tau)^2}.

Passo 4

Num PFR de TDH \tau_p, a fração que sai é
\frac{C_{\text{out}}}{C_{\text{in}}} = e^{-\,k\,\tau_p}.
Para ter o mesmo decaimento, igualamos
e^{-\,k\,\tau_p} \;=\;\frac{1}{(1 + k \tau)^2}.

Passo 5

Resolvendo para \tau_p:
-\,k\,\tau_p = -2\,\ln(1 + k \tau) \quad\Longrightarrow\quad \tau_p = \frac{2}{k}\,\ln\bigl(1 + k \tau\bigr).

Passo 6

Substituindo k\tau = 0{,}0495\times20160\approx997{,}9:
\tau_p = \frac{2}{0{,}0495}\,\ln(1 + 997{,}9) \approx 2\times20{,}2\;\text{min}\times\ln(998{,}9) \approx 2\times20{,}2\times6{,}91 \approx279{,}4\;\text{min} \approx4{,}66\;\text{h}.
O volume do tubo é V_p=Q\,\tau_p e o dos dois tanques juntos é V_{\text{tanques}}=Q\,(2\tau). Logo a razão de capacidades é
\frac{V_p}{V_{\text{tanques}}} = \frac{\tau_p}{2\tau} = \frac{279{,}4}{2\times20160} \approx0{,}00693 \quad\bigl(\approx0{,}7\%\bigr).

Resposta

O tubo de escoamento pistonado precisa ter capacidade igual a cerca de 0,7\% do volume total dos dois tanques em série, e seu TDH deve ser aproximadamente 4,7 h.

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