(2.5) Um oscilador harmônico é formado por uma mola ideal de constante elástica k e um bloco de massa m=3,00 \mathrm{~kg}. Ao oscilar livremente, verifica-se que seu período vale T=2,00 \mathrm{~s}.
(a) (0.5) Se o módulo da velocidade máxima de oscilação é
v_{\text {max }}=1,26 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é a amplitude x_{m} do MHS.
(b) (0.5) Determine a energia mecânica do movimento.
R.: 2,38 \mathrm{~J}
(c) (1.5) Se o sistema massa-mola for posto a oscilar na substância (1) com b_{1}=20,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, o movimento será periódico? E na substância (2) com b_{2}=10,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} ? Justifique sua resposta e caso haja oscilação, calcule o novo período.
R.: 2,36 \mathrm{~s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • massa: m=3{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • período do oscilador sem amortecimento: T=2{,}00\\ \mathrm{s}.
  • velocidade máxima: v_{\text{max}}=1{,}26\\ \mathrm{m/s}.
  • constantes de amortecimento propostas: b_{1}=20{,}0\\ \mathrm{kg/s} e b_{2}=10{,}0\\ \mathrm{kg/s}.
O enunciado pede:
(a) calcular a amplitude x_{m} do movimento harmônico simples (MHS) sabendo v_{\text{max}};
(b) determinar a energia mecânica do movimento (no caso sem amortecimento);
(c) para cada um dos valores b_{1} e b_{2}: dizer se o movimento será periódico (isto é, se haverá oscilações) justificando; e, quando houver oscilação, calcular o novo período.

Passo 2

Entender a oscilação sem amortecimento e calcular \omega_{0}.
Teoria rápida (com explicação): um oscilador massa-mola sem amortecimento tem movimento harmônico simples com pulsação natural \omega_{0} e período T relacionados por
T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}.
Aqui T é o período (tempo para uma oscilação completa) e \omega_{0} é a frequência angular natural (em \mathrm{s^{-1}}).
Isolando \omega_{0}:
\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=2{,}00\\ \mathrm{s}:
\omega_{0}=\frac{2\pi}{2{,}00}=\pi\\ \mathrm{s^{-1}}\approx3{,}1416\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 3

Parte (a): relação entre velocidade máxima e amplitude e cálculo da amplitude x_{m}.
Teoria: para um MHS sem amortecimento, a velocidade máxima ocorre ao passar pela posição de equilíbrio e vale
v_{\text{max}}=\omega_{0} x_{m},
onde x_{m} é a amplitude (o deslocamento máximo) e \omega_{0} é a frequência angular natural. Essa fórmula vem de escrever x(t)=x_{m}\cos(\omega_0 t+\varphi) e derivar para obter v(t)=-\omega_0 x_m \sin(\omega_0 t+\varphi); o módulo máximo é \omega_0 x_m.
Isolando x_{m}:
x_{m}=\frac{v_{\text{max}}}{\omega_{0}}.
Agora substituo os valores (peguei v_{\text{max}}=1{,}26\\ \mathrm{m/s} do enunciado e \omega_{0}=\pi\\ \mathrm{s^{-1}} do passo anterior):
x_{m}=\frac{1{,}26}{\pi}\\ \mathrm{m}\approx0{,}402\\ \mathrm{m}.
Portanto a amplitude é aproximadamente 0{,}402\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Parte (b): energia mecânica do movimento.
Teoria: para uma mola ideal sem amortecimento, a energia mecânica total E é conservada e é a soma da energia cinética e potencial elástica. No instante de velocidade máxima toda a energia é cinética e vale
E=\frac{1}{2}m v_{\text{max}}^{2}.
Alternativamente, no instante de máxima elongação toda a energia é potencial elástica e vale E=\dfrac{1}{2}k x_{m}^{2}. Ambas são equivalentes porque k=m\omega_{0}^{2}.
Calcule usando E=\dfrac{1}{2}m v_{\text{max}}^{2}. Peguei m=3{,}00\\ \mathrm{kg} e v_{\text{max}}=1{,}26\\ \mathrm{m/s}:
E=\frac{1}{2}\cdot3{,}00\cdot(1{,}26)^{2} =1{,}5\cdot1{,}5876 \approx2{,}3814\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente:
E\approx2{,}38\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Parte (c) — introdução ao amortecimento e condição para haver oscilações.
Teoria do amortecimento viscous linear: o movimento da massa com amortecimento viscoso b obedece à equação
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=0,
onde b tem unidades \mathrm{kg/s}. Define-se a taxa de amortecimento (meia taxa) \gamma por
\gamma=\frac{b}{2m}.
Comparando \gamma com \omega_{0} há três regimes:
  • Subamortecido (oscilações amortecidas): \gamma<\omega_{0}. A solução é oscilatória com frequência angular amortecida \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}.
  • Criticamente amortecido: \gamma=\omega_{0}. Sem oscilações, retorno mais rápido sem oscilar.
  • Sobreamortecido (overdamped): \gamma>\omega_{0}. Sem oscilações, retorno lento sem oscilar.
Equivalente em termos de b: a fronteira crítica é b_{\text{crit}}=2m\omega_{0}. Se b<b_{\text{crit}} há oscilações; se b\ge b_{\text{crit}} não há oscilações.
Calcule b_{\text{crit}} usando m=3{,}00\\ \mathrm{kg} e \omega_{0}=\pi\\ \mathrm{s^{-1}}:
b_{\text{crit}}=2m\omega_{0}=2\cdot3{,}00\cdot\pi=6\pi\\ \mathrm{kg/s}\approx18{,}85\\ \mathrm{kg/s}.
Comparações:
  • Para b_{1}=20{,}0\\ \mathrm{kg/s} temos b_{1}>b_{\text{crit}} (20,0 > 18,85), logo \gamma_{1}>\omega_{0}: regime sobreamortecido — não haverá oscilações periódicas.
  • Para b_{2}=10{,}0\\ \mathrm{kg/s} temos b_{2}<b_{\text{crit}} (10,0 < 18,85), logo \gamma_{2}<\omega_{0}: regime subamortecido — haverá oscilações amortecidas (periódicas, com período ligeiramente diferente).

Passo 6

Se houver oscilações (caso subamortecido, aqui para b_{2}), calcular a frequência amortecida \omega_{d} e o novo período T_{d}.
Fórmulas:
\gamma=\frac{b}{2m},\qquad \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}},\qquad T_{d}=\frac{2\pi}{\omega_{d}}.
Calcule para b_{2}=10{,}0\\ \mathrm{kg/s}.
Primeiro \gamma_{2}:
\gamma_{2}=\frac{b_{2}}{2m}=\frac{10{,}0}{2\cdot3{,}00}=\frac{10{,}0}{6{,}00}\\ \mathrm{s^{-1}}\approx1{,}6667\\ \mathrm{s^{-1}}.
\omega_{0}=\pi\\ \mathrm{s^{-1}}\approx3{,}1416\\ \mathrm{s^{-1}}. Então
\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma_{2}^{2}} =\sqrt{\pi^{2}-(1{,}6667)^{2}} \approx\sqrt{9{,}8696-2{,}7778} =\sqrt{7{,}0918} \approx2{,}663\\ \mathrm{s^{-1}}.
Finalmente o período amortecido:
T_{d}=\frac{2\pi}{\omega_{d}}\approx\frac{2\pi}{2{,}663}\\ \mathrm{s}\approx2{,}360\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma apropriada:
T_{d}\approx2{,}36\\ \mathrm{s}.
Observação física curta e solidária: com amortecimento b_{2}=10{,}0\\ \mathrm{kg/s} o sistema continua oscilando, mas as amplitudes vão diminuindo com o tempo — a frequência e o período mudam um pouco em relação ao caso sem amortecimento. Com b_{1}=20{,}0\\ \mathrm{kg/s} não há oscilações; a massa retorna ao equilíbrio sem passar por ele repetidamente.

Resposta

(a) x_{m}\approx0{,}402\\ \mathrm{m}
(b) E\approx2{,}38\\ \mathrm{J}
(c) Para b_{1}=20{,}0\\ \mathrm{kg/s}: não será periódico (sobreamortecido).
Para b_{2}=10{,}0\\ \mathrm{kg/s}: será periódico (subamortecido) com T_{d}\approx2{,}36\\ \mathrm{s}.