(2.5) Um oscilador harmônico é formado por uma mola ideal de constante elástica k e um bloco de massa
. Ao oscilar livremente, verifica-se que seu período vale
.
(a) (0.5) Se o módulo da velocidade máxima de oscilação é
, qual é a amplitude
do MHS.
(b) (0.5) Determine a energia mecânica do movimento.
R.:
(c) (1.5) Se o sistema massa-mola for posto a oscilar na substância (1) com
, o movimento será periódico? E na substância (2) com
? Justifique sua resposta e caso haja oscilação, calcule o novo período.
R.:
(a) (0.5) Se o módulo da velocidade máxima de oscilação é
(b) (0.5) Determine a energia mecânica do movimento.
R.:
(c) (1.5) Se o sistema massa-mola for posto a oscilar na substância (1) com
R.:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- massa:
. - período do oscilador sem amortecimento:
. - velocidade máxima:
. - constantes de amortecimento propostas:
e .
O enunciado pede:
(a) calcular a amplitude do movimento harmônico simples (MHS) sabendo
;
(b) determinar a energia mecânica do movimento (no caso sem amortecimento);
(c) para cada um dos valores e
: dizer se o movimento será periódico (isto é, se haverá oscilações) justificando; e, quando houver oscilação, calcular o novo período.
(a) calcular a amplitude
(b) determinar a energia mecânica do movimento (no caso sem amortecimento);
(c) para cada um dos valores
Passo 2
Entender a oscilação sem amortecimento e calcular
.
Teoria rápida (com explicação): um oscilador massa-mola sem amortecimento tem movimento harmônico simples com pulsação natural
e período
relacionados por
Aqui
é o período (tempo para uma oscilação completa) e
é a frequência angular natural (em
).
Isolando
:
Substituindo
:
Passo 3
Parte (a): relação entre velocidade máxima e amplitude e cálculo da amplitude
.
Teoria: para um MHS sem amortecimento, a velocidade máxima ocorre ao passar pela posição de equilíbrio e vale
onde
é a amplitude (o deslocamento máximo) e
é a frequência angular natural. Essa fórmula vem de escrever
e derivar para obter
; o módulo máximo é
.
Isolando
:
Agora substituo os valores (peguei
do enunciado e
do passo anterior):
Portanto a amplitude é aproximadamente
.
Passo 4
Parte (b): energia mecânica do movimento.
Teoria: para uma mola ideal sem amortecimento, a energia mecânica total
é conservada e é a soma da energia cinética e potencial elástica. No instante de velocidade máxima toda a energia é cinética e vale
Alternativamente, no instante de máxima elongação toda a energia é potencial elástica e vale
. Ambas são equivalentes porque
.
Calcule usando
. Peguei
e
:
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Parte (c) — introdução ao amortecimento e condição para haver oscilações.
Teoria do amortecimento viscous linear: o movimento da massa com amortecimento viscoso
obedece à equação
onde
tem unidades
. Define-se a taxa de amortecimento (meia taxa)
por
Comparando
com
há três regimes:
- Subamortecido (oscilações amortecidas):
. A solução é oscilatória com frequência angular amortecida . - Criticamente amortecido:
. Sem oscilações, retorno mais rápido sem oscilar. - Sobreamortecido (overdamped):
. Sem oscilações, retorno lento sem oscilar.
Equivalente em termos de
: a fronteira crítica é
. Se
há oscilações; se
não há oscilações.
Calcule
usando
e
:
Comparações:
- Para
temos (20,0 > 18,85), logo : regime sobreamortecido — não haverá oscilações periódicas. - Para
temos (10,0 < 18,85), logo : regime subamortecido — haverá oscilações amortecidas (periódicas, com período ligeiramente diferente).
Passo 6
Se houver oscilações (caso subamortecido, aqui para
), calcular a frequência amortecida
e o novo período
.
Fórmulas:
Calcule para
.
Primeiro :
Primeiro
Já
. Então
Finalmente o período amortecido:
Arredondando de forma apropriada:
Observação física curta e solidária: com amortecimento
o sistema continua oscilando, mas as amplitudes vão diminuindo com o tempo — a frequência e o período mudam um pouco em relação ao caso sem amortecimento. Com
não há oscilações; a massa retorna ao equilíbrio sem passar por ele repetidamente.
Resposta
(a)
(b)
(c) Para : não será periódico (sobreamortecido).
Para : será periódico (subamortecido) com
.
(b)
(c) Para
Para