Um oscilador harmônico satisfaz a equação: ddotx+4 x=0. Inicialmente, a partícula se encontra em x=raiz3 enquanto se dirige em direção à origem com velocidade 2. Mostre que, no movimento subsequente
x=raiz3 cos 2 t-sin 2 t
Deduza a amplitude das oscilações. Quanto tempo demora para a partícula atingir a origem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos um oscilador harmônico que segue a equação diferencial ddotx + 4x = 0. Isso faz parte do estudo de mecânica ou física vibracional. Para resolver essa equação e entender o movimento da partícula, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais e movimento harmônico simples.

Passo 2

A equação dada é ddotx + 4x = 0. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral de uma equação de movimento harmônico simples é ddotx + omega^2 x = 0, onde omega é a frequência angular. Comparando, vemos que omega^2 = 4, então omega = 2 rad/s.

Passo 3

A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Substituindo omega = 2, temos:
x(t) = A cos(2t) + B sin(2t)
Aqui, A e B são constantes que determinam a posição e a velocidade inicial da partícula.

Passo 4

Vamos usar as condições iniciais para encontrar A e B. Sabemos que inicialmente, quando t = 0, x = raiz3 e a velocidade dotx = -2 (já que está se dirigindo em direção à origem).
Primeiro, substituímos t = 0 na função x(t):
raiz3 = A cos(0) + B sin(0) raiz3 = A cdot 1 + B cdot 0 A = raiz3

Passo 5

Agora, vamos encontrar B usando a velocidade inicial. Derivamos x(t) para obter dotx(t):
dotx(t) = -2A sin(2t) + 2B cos(2t)
Substituindo t = 0 e dotx = -2:
-2 = -2A sin(0) + 2B cos(0) -2 = 0 + 2B cdot 1 2B = -2 B = -1

Passo 6

Com os valores de A e B encontrados, substituímos de volta na equação geral:
x(t) = raiz3 cos(2t) - 1 sin(2t)
Simplificando:
x(t) = raiz3 cos(2t) - sin(2t)
Isso confirma a expressão dada na questão.

Passo 7

Agora, vamos deduzir a amplitude das oscilações. A amplitude A de um movimento harmônico simples é dada por:
A = raizA1^2 + A2^2
Onde A1 é o coeficiente de cos(2t) e A2 é o coeficiente de sin(2t). No nosso caso:
A = raiz(raiz3)^2 + (-1)^2 A = raiz3 + 1 A = raiz4 A = 2

Passo 8

Por fim, vamos calcular o tempo que a partícula demora para atingir a origem, ou seja, quando x(t) = 0:
raiz3 cos(2t) - sin(2t) = 0 raiz3 cos(2t) = sin(2t) sin(2t)cos(2t) = raiz3 tan(2t) = raiz3
Sabemos que tan(pi/3) = raiz3, então:
2t = pi3 t = pi6

Resposta

A amplitude das oscilações é 2 unidades e a partícula demora dfracpi6 segundos para atingir a origem.

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