Um oscilador harmônico satisfaz a equação:
. Inicialmente, a partícula se encontra em
enquanto se dirige em direção à origem com velocidade 2. Mostre que, no movimento subsequente
Deduza a amplitude das oscilações. Quanto tempo demora para a partícula atingir a origem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos um oscilador harmônico que segue a equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de mecânica ou física vibracional. Para resolver essa equação e entender o movimento da partícula, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais e movimento harmônico simples.
Passo 2
A equação dada é
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral de uma equação de movimento harmônico simples é
, onde
é a frequência angular. Comparando, vemos que
, então
rad/s.
Passo 3
A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
Substituindo
, temos:
Aqui,
e
são constantes que determinam a posição e a velocidade inicial da partícula.
Passo 4
Vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
. Sabemos que inicialmente, quando
,
e a velocidade
(já que está se dirigindo em direção à origem).
Primeiro, substituímos
na função
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
usando a velocidade inicial. Derivamos
para obter
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, substituímos de volta na equação geral:
Simplificando:
Isso confirma a expressão dada na questão.
Passo 7
Agora, vamos deduzir a amplitude das oscilações. A amplitude
de um movimento harmônico simples é dada por:
Onde
é o coeficiente de
e
é o coeficiente de
. No nosso caso:
Passo 8
Por fim, vamos calcular o tempo que a partícula demora para atingir a origem, ou seja, quando
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A amplitude das oscilações é
unidades e a partícula demora
segundos para atingir a origem.