(Osec - SP) O sistema linear \left\{\begin{array}{l}x-y+2 z=2 \\\\ 2 x+3 y+4 z=9 \\\ x+4 y+2 z=7\end{array}\right.
a) admite solução única;
b) admite infinitas soluções;
c) admite apenas duas soluções;
d) não admite solução;

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sistema linear
\begin{cases} x - y + 2z = 2,\\\\ 2x + 3y + 4z = 9,\\\ x + 4y + 2z = 7. \end{cases}
O conteúdo aqui é classificação de sistemas lineares via determinante e posto da matriz de coeficientes. Vamos primeiro calcular o determinante para ver se há solução única; se não houver, checamos compatibilidade para decidir entre infinitas ou nenhuma solução.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 2 & 3 & 4\\\\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(A) = 1\cdot(3\cdot2 - 4\cdot4) -(-1)\cdot(2\cdot2 - 4\cdot1) +2\cdot(2\cdot4 - 3\cdot1) = -10 + 0 + 10 = 0.
Como \det(A)=0, não há solução única.

Passo 3

Para decidir entre inexistência ou infinitas soluções, expressamos x em função de y,z pela primeira equação:
x = 2 + y - 2z.
Substituindo em
\;2x+3y+4z=9\; e \;x+4y+2z=7\;
obtemos em ambos os casos
5y = 5 \quad\Longrightarrow\quad y = 1
sem gerar contradição. Isso mostra que o sistema é compatível.

Passo 4

Com y=1 e x=2+1-2z=3-2z, o parâmetro z fica livre ( z=t).
Logo as soluções são
(x,y,z) = (3-2t,\;1,\;t),
com t\in\mathbb{R}, ou seja, existem infinitas soluções.

Resposta

(b) admite infinitas soluções.

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