(P1 2012.1) Uma partícula descreve um movimento circular, com velocidade de módulo constante e igual a V. Num intervalo de tempo em que percorre 1/4 da circunferência, o módulo de seu vetor velocidade média é igual a:
(a) \frac{1}{4} V
(b) 2 V
(c) \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} V
(d) \frac{2}{\pi} V
(e) \frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{~V}
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo com calma):
Uma partícula faz movimento circular com módulo da velocidade constante igual a \,V\,.
No intervalo considerado a partícula percorre 1/4 da circunferência (ou seja, um quarto do círculo).
Pergunta: qual o módulo do vetor velocidade média da partícula nesse intervalo de tempo?
Conceito importante (explicação didática e sem pular etapas): o vetor velocidade média é definido como o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo. Em fórmulas:
Repare: aqui usamos o deslocamento vetorial \Delta\mathbf{r} (a reta que liga posição final à posição inicial), não a distância percorrida ao longo da circunferência. Isso é essencial: a partícula anda pelo arco mas o deslocamento é o chord (a corda) que une os dois pontos finais.
Passo 3
Determinar o módulo do deslocamento |\Delta\mathbf{r}| de forma concreta (jeito geométrico simples):
Seja R o raio da circunferência (não precisamos conhecer o valor numérico de R, ele vai se cancelar).
Coloco o ponto inicial em coordenadas cartesianas como (R,0). Após percorrer 1/4 da circunferência (ângulo \pi/2), o ponto final fica em (0,R).
(Comentário amigo: esse resultado também pode ser obtido pela fórmula da corda 2R\sin(\theta/2) com \theta=\pi/2, que dá 2R\sin(\pi/4)=2R\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}R.)
Passo 4
Determinar o intervalo de tempo \Delta t gasto para percorrer 1/4 da circunferência:
Comprimento total da circunferência é 2\pi R. Um quarto disso é
s=\frac{1}{4}\cdot 2\pi R=\frac{\pi}{2}R.
Como a velocidade escalar (módulo da velocidade) é constante e igual a \,V, o tempo gasto é distância sobre velocidade:
\Delta t=\frac{s}{V}=\frac{\pi R}{2V}.
Passo 5
Calcular o módulo da velocidade média usando |\Delta\mathbf{r}| e \Delta t: