(P1 2012.1) Uma partícula descreve um movimento circular, com velocidade de módulo constante e igual a V. Num intervalo de tempo em que percorre 1/4 da circunferência, o módulo de seu vetor velocidade média é igual a:
(a) \frac{1}{4} V
(b) 2 V
(c) \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} V
(d) \frac{2}{\pi} V
(e) \frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{~V}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo com calma):
  • Uma partícula faz movimento circular com módulo da velocidade constante igual a \,V\,.
  • No intervalo considerado a partícula percorre 1/4 da circunferência (ou seja, um quarto do círculo).
  • Pergunta: qual o módulo do vetor velocidade média da partícula nesse intervalo de tempo?
  • Opções dadas:
    (a) \dfrac{1}{4}V
    (b) 2V
    (c) \dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}V
    (d) \dfrac{2}{\pi}V
    (e) \dfrac{\sqrt{2}}{2}V

Passo 2

Conceito importante (explicação didática e sem pular etapas): o vetor velocidade média é definido como o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo. Em fórmulas:
\overline{\mathbf{v}}=\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t},
portanto o módulo da velocidade média é
\big|\overline{\mathbf{v}}\big|=\frac{|\Delta\mathbf{r}|}{\Delta t}.
Repare: aqui usamos o deslocamento vetorial \Delta\mathbf{r} (a reta que liga posição final à posição inicial), não a distância percorrida ao longo da circunferência. Isso é essencial: a partícula anda pelo arco mas o deslocamento é o chord (a corda) que une os dois pontos finais.

Passo 3

Determinar o módulo do deslocamento |\Delta\mathbf{r}| de forma concreta (jeito geométrico simples):
  • Seja R o raio da circunferência (não precisamos conhecer o valor numérico de R, ele vai se cancelar).
  • Coloco o ponto inicial em coordenadas cartesianas como (R,0). Após percorrer 1/4 da circunferência (ângulo \pi/2), o ponto final fica em (0,R).
  • O vetor deslocamento é
\Delta\mathbf{r}=(0,R)-(R,0)=(-R,\,R).
  • O módulo desse vetor é
|\Delta\mathbf{r}|=\sqrt{(-R)^2+R^2}=\sqrt{2R^2}= \sqrt{2}\,R.
(Comentário amigo: esse resultado também pode ser obtido pela fórmula da corda 2R\sin(\theta/2) com \theta=\pi/2, que dá 2R\sin(\pi/4)=2R\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}R.)

Passo 4

Determinar o intervalo de tempo \Delta t gasto para percorrer 1/4 da circunferência:
  • Comprimento total da circunferência é 2\pi R. Um quarto disso é
s=\frac{1}{4}\cdot 2\pi R=\frac{\pi}{2}R.
  • Como a velocidade escalar (módulo da velocidade) é constante e igual a \,V, o tempo gasto é distância sobre velocidade:
\Delta t=\frac{s}{V}=\frac{\pi R}{2V}.

Passo 5

Calcular o módulo da velocidade média usando |\Delta\mathbf{r}| e \Delta t:
  • Pela definição,
\big|\overline{\mathbf{v}}\big|=\frac{|\Delta\mathbf{r}|}{\Delta t} = \frac{\sqrt{2}\,R}{\dfrac{\pi R}{2V}}.
  • Simplificando (o R cancela):
\big|\overline{\mathbf{v}}\big| = \sqrt{2}\,R\cdot\frac{2V}{\pi R} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\,V.

Passo 6

Interpretação final e escolha da alternativa:
  • Obtivemos \big|\overline{\mathbf{v}}\big|=\dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}\,V.
  • Isso corresponde exatamente à alternativa (c).

Resposta

(c) \dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}V

Exercícios relacionados