P10.13 O estado plano de deformação no elemento é \boldsymbol{\epsilon}_{x}=-300\left(10^{-6}\right), \boldsymbol{\epsilon}_{y}=0 e \gamma_{x y}=150\left(10^{-6}\right). Determine o estado de deformação equivalente que representa (a) as deformações principais e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada. Especifique a orientação dos elementos correspondentes para esses estados de deformação com relação ao elemento original.

Passo 1

O enunciado dá o estado plano de deformação no elemento e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    \epsilon_x = -300\left(10^{-6}\right),\qquad \epsilon_y = 0,\qquad \gamma_{xy} = 150\left(10^{-6}\right).
    (Aqui \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia.)
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Determinar as deformações principais (valores e orientação dos eixos principais em relação ao eixo x do elemento original).
    (b) Determinar a deformação por cisalhamento máxima no plano (valor e orientação) e a deformação normal média associada (valor).

Passo 2

Vamos apresentar as fórmulas que usamos e o que cada símbolo significa (mini-aula prática):
  • A deformação normal média (média das deformações normais no plano) é
    \bar{\epsilon}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}.
    Aqui \bar{\epsilon} é simplesmente a média aritmética de \epsilon_x e \epsilon_y.
  • Para obter as deformações principais \epsilon_1 e \epsilon_2, usamos a representação geométrica no círculo de Mohr para deformações. A distância do centro do círculo ao ponto principal (o “raio” R) é
    R=\sqrt{\left(\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}}.
    As deformações principais são então
    \epsilon_{1}=\bar{\epsilon}+R,\qquad \epsilon_{2}=\bar{\epsilon}-R.
    Essas são as maiores e menores deformações normais que aparecem em eixos rotacionados.
  • A orientação \theta_p do eixo onde aparece \epsilon_1 (medida a partir do eixo x, convencionando \theta positivo no sentido anti-horário) satisfaz
    \tan(2\theta_p)=\frac{\gamma_{xy}}{\epsilon_x-\epsilon_y}.
    Depois de achar 2\theta_p com a função arctan, dividimos por 2 para obter \theta_p. Note que o resultado pode ser negativo (o que significa rotação no sentido horário).
  • A máxima deformação por cisalhamento de engenharia no plano (valor absoluto) é
    \gamma_{\max}=2R=\sqrt{(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2}.
    As direções do plano onde ocorre o cisalhamento máximo são defasadas de \pm 45^\circ em relação às direções principais:
    \theta_s=\theta_p\pm 45^\circ.
Observação sobre unidades: todos os números dados são multiplicados por 10^{-6} (microdeformações). Vou preservar esse fator 10^{-6} na apresentação final.

Passo 3

Calcular a deformação normal média \bar{\epsilon}:
\bar{\epsilon}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}=\frac{-300\left(10^{-6}\right)+0}{2}=-150\left(10^{-6}\right).
Explicando: some as duas deformações normais e divida por 2. Simples e rápido — essa média será usada na construção das deformações principais.

Passo 4

Calcular o raio R. Primeiro calcule a diferença das normais e os meios usados na fórmula:
\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{-300\left(10^{-6}\right)-0}{2}=-150\left(10^{-6}\right), \qquad \frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{150\left(10^{-6}\right)}{2}=75\left(10^{-6}\right).
Agora
R=\sqrt{(-150\left(10^{-6}\right))^{2}+(75\left(10^{-6}\right))^{2}} =\sqrt{22500+5625}\times 10^{-12} =\sqrt{28125}\times 10^{-6}.
\sqrt{28125}\approx 167,705\quad\Rightarrow\quad R\approx 167,705\left(10^{-6}\right).
Comentário prático: em provas é comum arredondar a três dígitos significativos; aqui mantive um valor com três casas significativas no fator 10^{-6}.

Passo 5

Calcular as deformações principais \epsilon_1 e \epsilon_2:
\epsilon_1=\bar{\epsilon}+R=-150\left(10^{-6}\right)+167,705\left(10^{-6}\right)=17,705\left(10^{-6}\right),
\epsilon_2=\bar{\epsilon}-R=-150\left(10^{-6}\right)-167,705\left(10^{-6}\right)=-317,705\left(10^{-6}\right).
Interpretação física curta: \epsilon_1 é pequena e positiva (traciona levemente), \epsilon_2 é maior em módulo e negativa (compressão maior). As direções associadas a essas duas deformações são perpendiculares entre si.

Passo 6

Determinar a orientação \theta_p das deformações principais (direção de \epsilon_1):
Usamos
\tan(2\theta_p)=\frac{\gamma_{xy}}{\epsilon_x-\epsilon_y}=\frac{150\left(10^{-6}\right)}{-300\left(10^{-6}\right)}=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
2\theta_p=\arctan\!\big(-\tfrac{1}{2}\big)\approx -26,565^\circ.
Dividindo por 2,
\theta_p\approx -13,2825^\circ.
Interpretação: \theta_p negativo significa que o eixo de \epsilon_1 está rotacionado 13,28^\circ no sentido horário a partir do eixo x. Como direção de eixos é definida módulo 180^\circ, também podemos dizer que \theta_p\approx 166,7175^\circ (se preferir um ângulo positivo).
A direção de \epsilon_2 é perpendicular, ou seja
\theta_{2}=\theta_p+90^\circ\approx 76,7175^\circ.

Passo 7

Calcular a deformação por cisalhamento máxima \gamma_{\max} (magnitude, engenharia):
\gamma_{\max}=2R\approx 2\times 167,705\left(10^{-6}\right)=335,41\left(10^{-6}\right).
Alternativamente usando a fórmula direta:
\gamma_{\max}=\sqrt{(\epsilon_x-\epsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2} =\sqrt{(-300\left(10^{-6}\right))^2+(150\left(10^{-6}\right))^2}\approx 335,41\left(10^{-6}\right).

Passo 8

Orientação dos planos de cisalhamento máximo:
As direções onde ocorre o cisalhamento máximo estão a \pm 45^\circ das direções principais:
\theta_s=\theta_p\pm 45^\circ.
Com \theta_p\approx -13,2825^\circ obtemos
\theta_{s1}\approx -13,2825^\circ + 45^\circ \approx 31,7175^\circ,
\theta_{s2}\approx -13,2825^\circ - 45^\circ \approx -58,2825^\circ.
Interpretação: por exemplo, um plano orientado 31,72^\circ (anti-horário) a partir do eixo x exibirá a máxima deformação de cisalhamento \gamma_{\max} (no sinal apropriado); o plano perpendicular a esse exibirá a mesma magnitude com sinal oposto.

Passo 9

Resumo didático rápido (como resolver rápido numa prova):
  • Calcule a média \bar{\epsilon}.
  • Calcule R com as metades: use (\epsilon_x-\epsilon_y)/2 e \gamma_{xy}/2 para evitar erros.
  • As principais são \bar{\epsilon}\pm R.
  • Ângulo: use \tan 2\theta=\gamma_{xy}/(\epsilon_x-\epsilon_y), ache 2\theta e divida por 2.
  • Cisalhamento máximo: \gamma_{\max}=2R, direções em \theta_p\pm 45^\circ.
Força aí — você já tá quase lá! Respira, repete esses passos um ou dois exercícios e se acostuma com o fluxo.

Resposta

(a) \epsilon_1=17,705\left(10^{-6}\right),\\ \epsilon_2=-317,705\left(10^{-6}\right);\\ \theta_1\approx -13,28^\circ (isto é, 13,28^\circ no sentido horário a partir do eixo x); \theta_2=\theta_1+90^\circ\approx 76,72^\circ.
(b) \gamma_{\max}=335,41\left(10^{-6}\right);\\ \bar{\epsilon}=-150\left(10^{-6}\right); planos de cisalhamento máximo em \theta_s\approx 31,72^\circ e \theta_s\approx -58,28^\circ (ou seja, \theta_p\pm 45^\circ).

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