P10.13 O estado plano de deformação no elemento é
e
. Determine o estado de deformação equivalente que representa (a) as deformações principais e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada. Especifique a orientação dos elementos correspondentes para esses estados de deformação com relação ao elemento original.
Passo 1
O enunciado dá o estado plano de deformação no elemento e pede duas coisas claras:
-
Dados fornecidos:(Aqui
é a deformação de cisalhamento de engenharia.) -
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar as deformações principais (valores e orientação dos eixos principais em relação ao eixodo elemento original).
(b) Determinar a deformação por cisalhamento máxima no plano (valor e orientação) e a deformação normal média associada (valor).
Passo 2
Vamos apresentar as fórmulas que usamos e o que cada símbolo significa (mini-aula prática):
-
A deformação normal média (média das deformações normais no plano) éAqui
é simplesmente a média aritmética de e . -
Para obter as deformações principais
e , usamos a representação geométrica no círculo de Mohr para deformações. A distância do centro do círculo ao ponto principal (o “raio” ) é As deformações principais são entãoEssas são as maiores e menores deformações normais que aparecem em eixos rotacionados. -
A orientação
do eixo onde aparece (medida a partir do eixo , convencionando positivo no sentido anti-horário) satisfaz Depois de acharcom a função arctan, dividimos por 2 para obter . Note que o resultado pode ser negativo (o que significa rotação no sentido horário). -
A máxima deformação por cisalhamento de engenharia no plano (valor absoluto) éAs direções do plano onde ocorre o cisalhamento máximo são defasadas de
em relação às direções principais:
Observação sobre unidades: todos os números dados são multiplicados por
(microdeformações). Vou preservar esse fator
na apresentação final.
Passo 3
Calcular a deformação normal média
:
Explicando: some as duas deformações normais e divida por 2. Simples e rápido — essa média será usada na construção das deformações principais.
Passo 4
Calcular o raio
. Primeiro calcule a diferença das normais e os meios usados na fórmula:
Agora
Comentário prático: em provas é comum arredondar a três dígitos significativos; aqui mantive um valor com três casas significativas no fator
.
Passo 5
Calcular as deformações principais
e
:
Interpretação física curta:
é pequena e positiva (traciona levemente),
é maior em módulo e negativa (compressão maior). As direções associadas a essas duas deformações são perpendiculares entre si.
Passo 6
Determinar a orientação
das deformações principais (direção de
):
Usamos
Portanto
Dividindo por
,
Interpretação:
negativo significa que o eixo de
está rotacionado
no sentido horário a partir do eixo
. Como direção de eixos é definida módulo
, também podemos dizer que
(se preferir um ângulo positivo).
A direção de
é perpendicular, ou seja
Passo 7
Calcular a deformação por cisalhamento máxima
(magnitude, engenharia):
Alternativamente usando a fórmula direta:
Passo 8
Orientação dos planos de cisalhamento máximo:
As direções onde ocorre o cisalhamento máximo estão a das direções principais:
As direções onde ocorre o cisalhamento máximo estão a
Com
obtemos
Interpretação: por exemplo, um plano orientado
(anti-horário) a partir do eixo
exibirá a máxima deformação de cisalhamento
(no sinal apropriado); o plano perpendicular a esse exibirá a mesma magnitude com sinal oposto.
Passo 9
Resumo didático rápido (como resolver rápido numa prova):
- Calcule a média
. - Calcule
com as metades: use e para evitar erros. - As principais são
. - Ângulo: use
, ache e divida por 2. - Cisalhamento máximo:
, direções em .
Força aí — você já tá quase lá! Respira, repete esses passos um ou dois exercícios e se acostuma com o fluxo.
Resposta
(a)
(isto é,
no sentido horário a partir do eixo
);
(b)
planos de cisalhamento máximo em
e
(ou seja,
).