P10.43 Dois extensômetros a e b estão conectados a uma chapa feita de um material com módulo de elasticidade E=70 \mathrm{GPa} e o coeficiente de Poisson \nu=0,35. Se os medidores derem uma leitura de \epsilon_{a}=450\left(10^{-6}\right) e \epsilon_{b}=100\left(10^{-6}\right), determine as intensidades da carga uniformemente distribuída w_{x} e w_{y} que age sobre a chapa. A espessura da chapa é de 25 mm .

Passo 1

O enunciado fornece uma chapa de espessura 25\\ \mathrm{mm} feita de material com módulo de elasticidade E=70\\ \mathrm{GPa} e coeficiente de Poisson \nu=0{,}35. Dois extensômetros registram leituras:
\epsilon_{a}=450\left(10^{-6}\right),\qquad \epsilon_{b}=100\left(10^{-6}\right).
O problema pede: determinar as intensidades das cargas uniformemente distribuídas w_{x} e w_{y} que atuam sobre a chapa. Dados relevantes coletados:
E=70\\ \mathrm{GPa},\quad \nu=0{,}35,\quad \epsilon_x=450\times10^{-6},\quad \epsilon_y=100\times10^{-6},\quad t=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
Observação: as leituras dos extensômetros serão tratadas como as deformações normais na direção x e y: \epsilon_x e \epsilon_y. A tarefa final é fornecer w_x e w_y (intensidades das cargas distribuídas) em unidades de força por comprimento, com a espessura dada.

Passo 2

Entendendo a relação entre carga distribuída, tensão e deformação (aula curta e prática). Vou assumir que as cargas uniformes w_x e w_y são cargas ao longo das bordas (força por unidade de comprimento, \mathrm{N/m}) que geram tensões planas uniformes na chapa: as tensões normais médias na seção são
\sigma_x=\frac{w_x}{t},\qquad \sigma_y=\frac{w_y}{t}.
Por que isso? Porque w_x (N/m) é força por unidade de comprimento ao longo da borda; distribuindo essa força pela espessura t obtém-se uma força por unidade de área (tensão), ou seja \sigma_x = \dfrac{\text{força por comprimento}}{\text{espessura}} = \dfrac{w_x}{t}ç. O mesmo vale para y.

Passo 3

Relação entre tensões e deformações (aula de conceito). Para um elemento plano (chapa fina) em condição de plane stress, as deformações lineares \epsilon_x e \epsilon_y estão relacionadas às tensões \sigma_x e \sigma_y pela lei de Hooke bidimensional:
\epsilon_x=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_x-\nu\sigma_y\bigr)
\epsilon_y=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_y-\nu\sigma_x\bigr).
Explicando cada termo: E é o módulo de elasticidade (rigidez do material); \nu é a razão de Poisson (quantidade que mede o quanto uma direção contrai quando a outra é esticada). Essas equações dizem que a deformação em x depende da tensão em x e de uma contribuição negativa (contração) vinda da tensão em y, e vice‑versa.

Passo 4

Resolver o sistema linear para obter \sigma_x e \sigma_y em função de \epsilon_x e \epsilon_y. Multiplicando as equações por E e reorganizando:
\sigma_x-\nu\sigma_y = E\epsilon_x \quad(1)
\sigma_y-\nu\sigma_x = E\epsilon_y \quad(2)
Denotando A=E\epsilon_x e B=E\epsilon_y, temos o sistema
\sigma_x-\nu\sigma_y=A
-\nu\sigma_x+\sigma_y=B.
Resolvendo por eliminação, obtém‑se as fórmulas simétricas:
\sigma_x=\frac{E\bigl(\epsilon_x+\nu\epsilon_y\bigr)}{1-\nu^2}, \qquad \sigma_y=\frac{E\bigl(\epsilon_y+\nu\epsilon_x\bigr)}{1-\nu^2}.
Essas fórmulas são úteis: cada tensão é proporcional à combinação linear das deformações, corrigida pelo fator (1-\nu^2) que aparece por acoplamento elástico entre direções.

Passo 5

Calcular passo a passo os termos numéricos. Primeiro E\epsilon:
E\epsilon_x = 70\times10^{9}\times450\times10^{-6}=70\times10^{9}\times4{,}50\times10^{-4}=31{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=31{,}5\\ \mathrm{MPa},
E\epsilon_y = 70\times10^{9}\times100\times10^{-6}=70\times10^{9}\times1{,}00\times10^{-4}=7{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=7{,}0\\ \mathrm{MPa}.
O denominador
1-\nu^2=1-(0{,}35)^2=1-0{,}1225=0{,}8775.
Agora aplique as fórmulas:
\sigma_x=\frac{70\times10^{9}\bigl(450\times10^{-6}+0{,}35\cdot100\times10^{-6}\bigr)}{0{,}8775} =\frac{31{,}5\times10^{6}+0{,}35\cdot7{,}0\times10^{6}}{0{,}8775}.
Calcule o numerador: 31{,}5\times10^{6}+0{,}35\cdot7{,}0\times10^{6}=31{,}5\times10^{6}+2{,}45\times10^{6}=33{,}95\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Continuando a conta para \sigma_x e \sigma_y:
\sigma_x=\frac{33{,}95\times10^{6}}{0{,}8775}=38{,}7\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=38{,}7\\ \mathrm{MPa}.
Para \sigma_y:
\sigma_y=\frac{70\times10^{9}\bigl(100\times10^{-6}+0{,}35\cdot450\times10^{-6}\bigr)}{0{,}8775} =\frac{7{,}0\times10^{6}+0{,}35\cdot31{,}5\times10^{6}}{0{,}8775}.
Numerador: 7{,}0\times10^{6}+11{,}025\times10^{6}=18{,}025\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}. Então
\sigma_y=\frac{18{,}025\times10^{6}}{0{,}8775}=20{,}54\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=20{,}54\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Converter tensões em intensidades de carga w_x e w_y usando w=\sigma\,t (pois w é força por comprimento). Com t=0{,}025\\ \mathrm{m}:
w_x=\sigma_x\,t=38{,}7\times10^{6}\times0{,}025=967{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}=967{,}5\\ \mathrm{kN/m},
w_y=\sigma_y\,t=20{,}54\times10^{6}\times0{,}025=513{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}=513{,}5\\ \mathrm{kN/m}.
Interpretação: cada valor é a intensidade da carga distribuída ao longo da borda que, ao ser dividida pela espessura, dá a tensão uniforme calculada.

Resposta

w_x = 9{,}675\times10^{5}\\ \mathrm{N/m} \;(\approx 967{,}5\\ \mathrm{kN/m})
w_y = 5{,}135\times10^{5}\\ \mathrm{N/m} \;(\approx 513{,}5\\ \mathrm{kN/m})

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