P10.43 Dois extensômetros
e
estão conectados a uma chapa feita de um material com módulo de elasticidade
e o coeficiente de Poisson
. Se os medidores derem uma leitura de
e
, determine as intensidades da carga uniformemente distribuída
e
que age sobre a chapa. A espessura da chapa é de 25 mm .
Passo 1
O enunciado fornece uma chapa de espessura
feita de material com módulo de elasticidade
e coeficiente de Poisson
. Dois extensômetros registram leituras:
O problema pede: determinar as intensidades das cargas uniformemente distribuídas
e
que atuam sobre a chapa. Dados relevantes coletados:
Observação: as leituras dos extensômetros serão tratadas como as deformações normais na direção
e
:
e
. A tarefa final é fornecer
e
(intensidades das cargas distribuídas) em unidades de força por comprimento, com a espessura dada.
Passo 2
Entendendo a relação entre carga distribuída, tensão e deformação (aula curta e prática). Vou assumir que as cargas uniformes
e
são cargas ao longo das bordas (força por unidade de comprimento,
) que geram tensões planas uniformes na chapa: as tensões normais médias na seção são
Por que isso? Porque
(N/m) é força por unidade de comprimento ao longo da borda; distribuindo essa força pela espessura
obtém-se uma força por unidade de área (tensão), ou seja
. O mesmo vale para
.
Passo 3
Relação entre tensões e deformações (aula de conceito). Para um elemento plano (chapa fina) em condição de plane stress, as deformações lineares
e
estão relacionadas às tensões
e
pela lei de Hooke bidimensional:
Explicando cada termo:
é o módulo de elasticidade (rigidez do material);
é a razão de Poisson (quantidade que mede o quanto uma direção contrai quando a outra é esticada). Essas equações dizem que a deformação em
depende da tensão em
e de uma contribuição negativa (contração) vinda da tensão em
, e vice‑versa.
Passo 4
Resolver o sistema linear para obter
e
em função de
e
. Multiplicando as equações por
e reorganizando:
Denotando
e
, temos o sistema
Resolvendo por eliminação, obtém‑se as fórmulas simétricas:
Essas fórmulas são úteis: cada tensão é proporcional à combinação linear das deformações, corrigida pelo fator
que aparece por acoplamento elástico entre direções.
Passo 5
Calcular passo a passo os termos numéricos. Primeiro
:
O denominador
Agora aplique as fórmulas:
Calcule o numerador:
Passo 6
Continuando a conta para
e
:
Para
:
Numerador:
Então
Passo 7
Converter tensões em intensidades de carga
e
usando
(pois
é força por comprimento). Com
:
Interpretação: cada valor é a intensidade da carga distribuída ao longo da borda que, ao ser dividida pela espessura, dá a tensão uniforme calculada.