P10.70 Uma barra com área da seção transversal circular é feita de aço carbono SAE 1045 com uma tensão de escoamento
. Se a barra estiver sujeita a um torque de
e a um momento fletor de
, determine o diâmetro necessário da barra de acordo com a teoria da energia de distorção máxima. Adote um fator de segurança de 2 com relação ao escoamento.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um resultado claro:
- Tensão de escoamento do aço:
. - Torque aplicado:
. - Momento fletor aplicado:
. - Seção transversal: circular (diametro
desconhecido). - Fator de segurança em relação ao escoamento:
. - Critério de projeto: teoria da energia de distorção máxima (Von Mises).
Pergunta do enunciado: determinar o diâmetro necessário
da barra circular, usando a teoria da energia de distorção máxima e adotando
.
Passo 2
Estratégia geral (explicação do que vamos usar, de forma didática):
- A flexão gera uma tensão normal máxima na fibra externa igual a
, onde é a distância da neutra à fibra externa e é o momento de inércia da seção. - A torção gera uma tensão de cisalhamento máxima na superfície igual a
, onde é o momento polar de inércia. - A teoria da energia de distorção máxima (Von Mises) combina tensões normais e cisalhantes em um esforço equivalente
que representa o efeito combinado na falha por escoamento. Para o caso de flexão (uma tensão normal) combinada com torque (uma tensão de cisalhamento), a forma usada é
- Impomos a condição de segurança:
, onde .
Vamos agora deduzir as fórmulas específicas para uma seção circular e aplicar números.
Passo 3
Fórmula da tensão de flexão máxima para seção circular (passo-a-passo):
- Para qualquer seção, a tensão de flexão na fibra mais externa é
. - Para círculo de diâmetro
: -
(raio). -
(momento de inércia) vale
-
- Substituindo:
Passo 4
Fórmula da tensão de cisalhamento por torção para seção circular (passo-a-passo):
- A tensão de torção máxima na superfície é
. - Para círculo:
-
(momento polar) vale
-
.
-
- Substituindo:
Passo 5
Aplicando a teoria de Von Mises (energia de distorção máxima):
- A tensão equivalente de Von Mises para o caso de uma tensão normal
e uma tensão de cisalhamento é
- Impomos o critério de segurança com tensão admissível
:
- Vamos igualar para projetar no limite (caso crítico):
Passo 6
Expressar a equação em termos de
substituindo
e
:
- Substituindo
e :
- Colocando o fator comum
:
- Calculando constantes:
e . Então
- Isolando
:
- Portanto
Passo 7
Unidades consistentes e cálculo da tensão admissível:
- Convertemos momentos para
e tensão para (MPa = N/mm²). - Dados numéricos:
-
. - Fator de segurança
então
-
Passo 8
Substituição numérica (faça as contas passo a passo):
- Calcule
e :
- Agora o numerador:
- Denominador:
- Assim
Passo 9
Raiz sexta e resultado final:
- Tomando a raiz sexta:
- Calculando numericamente (pode ser feito com calculadora científica ou usando logaritmos):
- Interpretação: o diâmetro obtido é a menor dimensão teórica que satisfaz o critério de Von Mises com o fator de segurança pedido. Em projeto prático costuma-se escolher o diâmetro comercial imediatamente superior (por segurança e disponibilidade), mas o resultado teórico é este.