P10.70 Uma barra com área da seção transversal circular é feita de aço carbono SAE 1045 com uma tensão de escoamento \sigma_{e}=1.000 \mathrm{MPa}. Se a barra estiver sujeita a um torque de 3,75 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} e a um momento fletor de 7 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}, determine o diâmetro necessário da barra de acordo com a teoria da energia de distorção máxima. Adote um fator de segurança de 2 com relação ao escoamento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um resultado claro:
  • Tensão de escoamento do aço: \sigma_{e}=1{,}000\\ \mathrm{MPa}.
  • Torque aplicado: T=3{,}75\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
  • Momento fletor aplicado: M=7\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
  • Seção transversal: circular (diametro d desconhecido).
  • Fator de segurança em relação ao escoamento: N=2.
  • Critério de projeto: teoria da energia de distorção máxima (Von Mises).
Pergunta do enunciado: determinar o diâmetro necessário d da barra circular, usando a teoria da energia de distorção máxima e adotando N=2.

Passo 2

Estratégia geral (explicação do que vamos usar, de forma didática):
  • A flexão gera uma tensão normal máxima na fibra externa igual a \sigma_{b}=\dfrac{M c}{I}, onde c é a distância da neutra à fibra externa e I é o momento de inércia da seção.
  • A torção gera uma tensão de cisalhamento máxima na superfície igual a \tau_{t}=\dfrac{T c}{J}, onde J é o momento polar de inércia.
  • A teoria da energia de distorção máxima (Von Mises) combina tensões normais e cisalhantes em um esforço equivalente \sigma_{\text{vm}} que representa o efeito combinado na falha por escoamento. Para o caso de flexão (uma tensão normal) combinada com torque (uma tensão de cisalhamento), a forma usada é
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\sigma_{b}^{2}+3\tau_{t}^{2}}.
  • Impomos a condição de segurança: \sigma_{\text{vm}}\le \sigma_{\text{adm}}, onde \sigma_{\text{adm}}=\dfrac{\sigma_{e}}{N}.
    Vamos agora deduzir as fórmulas específicas para uma seção circular e aplicar números.

Passo 3

Fórmula da tensão de flexão máxima para seção circular (passo-a-passo):
  • Para qualquer seção, a tensão de flexão na fibra mais externa é \sigma_{b}=\dfrac{M c}{I}.
  • Para círculo de diâmetro d:
    • c=\dfrac{d}{2} (raio).
    • I (momento de inércia) vale
    I=\dfrac{\pi d^{4}}{64}.
  • Substituindo: \sigma_{b}=\dfrac{M\,(d/2)}{\pi d^{4}/64} =M\cdot \dfrac{d}{2}\cdot \dfrac{64}{\pi d^{4}} =\dfrac{32\,M}{\pi d^{3}}.

Passo 4

Fórmula da tensão de cisalhamento por torção para seção circular (passo-a-passo):
  • A tensão de torção máxima na superfície é \tau_{t}=\dfrac{T c}{J}.
  • Para círculo:
    • J (momento polar) vale
    J=\dfrac{\pi d^{4}}{32}.
    • c=\dfrac{d}{2}.
  • Substituindo: \tau_{t}=\dfrac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32} =T\cdot \dfrac{d}{2}\cdot \dfrac{32}{\pi d^{4}} =\dfrac{16\,T}{\pi d^{3}}.

Passo 5

Aplicando a teoria de Von Mises (energia de distorção máxima):
  • A tensão equivalente de Von Mises para o caso de uma tensão normal \sigma_{b} e uma tensão de cisalhamento \tau_{t} é
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\sigma_{b}^{2}+3\tau_{t}^{2}}.
  • Impomos o critério de segurança com tensão admissível \sigma_{\text{adm}}=\dfrac{\sigma_{e}}{N}:
\sqrt{\sigma_{b}^{2}+3\tau_{t}^{2}}\le \sigma_{\text{adm}}.
  • Vamos igualar para projetar no limite (caso crítico):
\sigma_{b}^{2}+3\tau_{t}^{2}=\sigma_{\text{adm}}^{2}.

Passo 6

Expressar a equação em termos de d substituindo \sigma_{b} e \tau_{t}:
  • Substituindo \sigma_{b}=\dfrac{32M}{\pi d^{3}} e \tau_{t}=\dfrac{16T}{\pi d^{3}}:
\left(\dfrac{32M}{\pi d^{3}}\right)^{2} +3\left(\dfrac{16T}{\pi d^{3}}\right)^{2} =\sigma_{\text{adm}}^{2}.
  • Colocando o fator comum \left(\dfrac{1}{\pi d^{3}}\right)^{2}:
\left(\dfrac{1}{\pi d^{3}}\right)^{2}\left(32^{2}M^{2}+3\cdot 16^{2}T^{2}\right) =\sigma_{\text{adm}}^{2}.
  • Calculando constantes: 32^{2}=1024 e 16^{2}=256. Então
\left(\dfrac{1}{\pi^{2} d^{6}}\right)\left(1024\,M^{2}+768\,T^{2}\right) =\sigma_{\text{adm}}^{2}.
  • Isolando d^{6}:
d^{6}=\dfrac{1024\,M^{2}+768\,T^{2}}{\pi^{2}\,\sigma_{\text{adm}}^{2}}.
  • Portanto
d=\left(\dfrac{1024\,M^{2}+768\,T^{2}}{\pi^{2}\,\sigma_{\text{adm}}^{2}}\right)^{1/6}.

Passo 7

Unidades consistentes e cálculo da tensão admissível:
  • Convertemos momentos para \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm} e tensão para \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2} (MPa = N/mm²).
  • Dados numéricos:
    • \sigma_{e}=1{,}000\\ \mathrm{MPa}=1{,}000\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
    • Fator de segurança N=2 então
    \sigma_{\text{adm}}=\dfrac{\sigma_{e}}{N}=\dfrac{1{,}000}{2}=500\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
    • M=7\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=7{,}000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=7{,}000\times 1{,}000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}=7{,}000{,}000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}=7{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}.
    • T=3{,}75\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=3{,}75\times 10^{6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}.

Passo 8

Substituição numérica (faça as contas passo a passo):
  • Calcule M^{2} e T^{2}: M^{2}=(7{,}0\times 10^{6})^{2}=4{,}9\times 10^{13}\\ (\mathrm{N}^{2}\!\cdot\!\mathrm{mm}^{2}),
T^{2}=(3{,}75\times 10^{6})^{2}=1{,}40625\times 10^{13}.
  • Agora o numerador: 1024\,M^{2}+768\,T^{2} =1024\cdot 4{,}9\times 10^{13}+768\cdot 1{,}40625\times 10^{13} =5{,}017{,}6\times 10^{16}+1{,}08\times 10^{16} =6{,}0976\times 10^{16}.
  • Denominador: \pi^{2}\,\sigma_{\text{adm}}^{2} \approx 9{,}8696\cdot (500)^{2} =9{,}8696\cdot 250{,}000 \approx 2{,}467{,}401{,}1.
  • Assim d^{6}=\dfrac{6{,}0976\times 10^{16}}{2{,}467{,}401{,}1} \approx 2{,}471004\times 10^{10}\\ (\mathrm{mm}^{6}).

Passo 9

Raiz sexta e resultado final:
  • Tomando a raiz sexta: d=\left(2{,}471004\times 10^{10}\right)^{1/6}.
  • Calculando numericamente (pode ser feito com calculadora científica ou usando logaritmos): d\approx 54{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Interpretação: o diâmetro obtido é a menor dimensão teórica que satisfaz o critério de Von Mises com o fator de segurança pedido. Em projeto prático costuma-se escolher o diâmetro comercial imediatamente superior (por segurança e disponibilidade), mas o resultado teórico é este.

Resposta

\;d \approx 54{,}0\\ \mathrm{mm}

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