P10.63 Desenvolva uma expressão para um momento fletor equivalente M_{e} que, se aplicado sozinho a uma barra maciça com uma seção transversal circular, provocaria a mesma energia de distorção que a aplicação combinada de um momento fletor M e um torque T.

Passo 1

O enunciado pede: desenvolver uma expressão para um momento fletor equivalente M_{e} que, aplicado sozinho a uma barra maciça com seção transversal circular, provoque a mesma energia de distorção (energia elástica armazenada por deformação) que a aplicação combinada de um momento fletor M e um torque T.
Informações e dados relevantes fornecidos ou implicados:
  • Temos um momento de flexão M aplicado à barra.
  • Temos um torque (momento torsor) T aplicado à mesma barra.
  • A seção transversal é circular e maciça (sólida).
  • A barra é de material elástico linear, homogêneo e isotrópico (podemos usar a relação entre E e G envolvendo o coeficiente de Poisson \nu).
  • Notação que usarei:
    • E = módulo de elasticidade (Young), unidades de pressão.
    • G = módulo de cisalhamento (shear modulus).
    • I = segundo momento de área (momento de inércia) da seção em relação ao eixo de flexão.
    • J = momento polar de inércia da seção (usado na torção).
    • M_e = momento fletor único que produz a mesma energia de distorção que M e T combinados.
  • Não há outras forças (axiais) que contribuam para a energia — só flexão e torção.

Passo 2

Conceito e fórmula da energia de distorção por flexão (passo pedagógico): explico por que a energia por flexão vale a fórmula usada.
Quando um feixe sofre flexão, fibras na seção alongam ou encurtam. A curvatura local é \kappa e a deformação axial numa fibra a uma coordenada y (distância do centro neutro) é \varepsilon_x = -\kappa\,y. A tensão axial nessa fibra é \sigma_x = E\,\varepsilon_x = -E\,\kappa\,y.
A densidade de energia elástica (energia por volume) associada à tensão axial é
\frac{1}{2}\sigma_x\varepsilon_x = \frac{1}{2}E\varepsilon_x^2 = \frac{1}{2}E\kappa^2 y^2.
Integramos essa densidade sobre a área da seção para obter a energia por unidade de comprimento (energia por comprimento) devido à flexão:
U_b^{\text{(por comprimento)}} = \frac{1}{2}E\kappa^2\int y^2\,dA = \frac{1}{2}E\kappa^2 I.
Agora usamos a relação entre curvatura e momento fletor: \kappa = \dfrac{M}{E I}. Substituindo,
U_b^{\text{(por comprimento)}} = \frac{1}{2}E\left(\frac{M}{E I}\right)^2 I = \frac{M^2}{2 E I}.
Portanto, a energia de flexão por unidade de comprimento é
\boxed{U_b = \dfrac{M^2}{2 E I}.}

Passo 3

Conceito e fórmula da energia de distorção por torção (passo pedagógico): explico por que a energia por torção vale a fórmula usada.
Para uma seção circular sujeita a um torque T, a tensão de cisalhamento a uma distância radial \rho do centro é proporcional a \rho: \tau(\rho)=\dfrac{T\,\rho}{J}. A deformação de cisalhamento é \gamma(\rho)=\dfrac{\tau(\rho)}{G}=\dfrac{T\,\rho}{GJ}.
A densidade de energia elástica por cisalhamento é \dfrac{1}{2}\tau\gamma = \dfrac{1}{2}\dfrac{T^2\rho^2}{GJ^2}. Integramos sobre a área da seção:
U_t^{\text{(por comprimento)}} = \frac{1}{2}\frac{T^2}{GJ^2}\int \rho^2\,dA.
Por definição, o momento polar de inércia é J=\int \rho^2\,dA. Assim:
U_t^{\text{(por comprimento)}} = \frac{1}{2}\frac{T^2}{GJ^2}\,J = \frac{T^2}{2 G J}.
Portanto, a energia de torção por unidade de comprimento é
\boxed{U_t = \dfrac{T^2}{2 G J}.}

Passo 4

Superposição das energias (passo pedagógico sobre linearidade): em materiais elásticos lineares as energias de deformação causadas por diferentes modos (flexão, torção) se somam — isso porque as contribuições de tensão/cepas são independentes e a energia é quadrática nas deformações. Logo a energia total por unidade de comprimento quando há simultaneamente M e T é
U_{\text{total}} = U_b + U_t = \frac{M^2}{2 E I} + \frac{T^2}{2 G J}.

Passo 5

Definição de M_e e equação para obtê‑lo: queremos um momento fletor M_e tal que, aplicado sozinho (apenas flexão), produza a mesma energia total por unidade de comprimento. Ou seja,
\frac{M_e^2}{2 E I} = \frac{M^2}{2 E I} + \frac{T^2}{2 G J}.
Multiplicando ambos os lados por 2 E I e isolando M_e^2 obtemos
M_e^2 = M^2 + \frac{E I}{G J}\,T^2.
Portanto, uma forma geral para o momento fletor equivalente é
\boxed{M_e = \sqrt{\,M^2 + \dfrac{E I}{G J}\,T^2\,}.}
Aqui expliquei cada símbolo: M e T são os momentos aplicados; E,I,G,J são módulos e inércias da seção já definidos. Essa expressão é válida para qualquer seção (com os respectivos I,J) enquanto a hipótese de linearidade e superposição for válida.

Passo 6

Simplificação para seção circular maciça (usar dados da seção circular): para uma seção circular maciça de raio a (diâmetro d=2a) temos fórmulas padrão:
I = \frac{\pi d^4}{64},\qquad J = \frac{\pi d^4}{32} = 2I.
Logo para seção circular sólida vale J = 2I. Substituindo em \dfrac{E I}{G J} temos
\frac{E I}{G J} = \frac{E}{G}\cdot\frac{I}{J} = \frac{E}{G}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\frac{E}{G}.
Para material isotrópico a relação entre E e G é
G = \frac{E}{2(1+\nu)} \quad\Longrightarrow\quad \frac{E}{G}=2(1+\nu),
onde \nu é o coeficiente de Poisson. Assim
\frac{E I}{G J} = \frac{1}{2}\cdot 2(1+\nu) = 1+\nu.

Passo 7

Expressão final para seção circular maciça: substituindo o fator anterior em M_e obtemos a forma simplificada específica para seção circular maciça:
\boxed{M_e = \sqrt{\,M^2 + (1+\nu)\,T^2\,}.}
Aqui \nu é o coeficiente de Poisson do material (por exemplo, para muitos aços \nu\approx 0{,}3, logo o fator 1+\nu\approx 1{,}3). Interpretação: o torque contribui para a mesma energia de distorção que um termo adicional em M^2 multiplicado por 1+\nu.

Passo 8

Observações práticas e motivação para uso na prova (didática breve): na prova, se pedirem o momento fletor equivalente para barra circular, memorize a forma geral
M_e=\sqrt{M^2+\dfrac{E I}{G J}T^2}
e, para seção circular maciça, substitua J=2I e use E/G=2(1+\nu) para chegar em
M_e=\sqrt{M^2+(1+\nu)T^2}.
Isso evita cálculos de integrais na hora — basta conhecer I,J e a relação entre E e G.

Resposta

M_e=\sqrt{\,M^2+\dfrac{E I}{G J}\,T^2\,}
\text{Para seção circular maciça:}\quad M_e=\sqrt{\,M^2+(1+\nu)\,T^2\,}çãç

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