P10.63 Desenvolva uma expressão para um momento fletor equivalente
que, se aplicado sozinho a uma barra maciça com uma seção transversal circular, provocaria a mesma energia de distorção que a aplicação combinada de um momento fletor
e um torque
.
Passo 1
O enunciado pede: desenvolver uma expressão para um momento fletor equivalente
que, aplicado sozinho a uma barra maciça com seção transversal circular, provoque a mesma energia de distorção (energia elástica armazenada por deformação) que a aplicação combinada de um momento fletor
e um torque
.
Informações e dados relevantes fornecidos ou implicados:
- Temos um momento de flexão
aplicado à barra. - Temos um torque (momento torsor)
aplicado à mesma barra. - A seção transversal é circular e maciça (sólida).
- A barra é de material elástico linear, homogêneo e isotrópico (podemos usar a relação entre
e envolvendo o coeficiente de Poisson ). - Notação que usarei:
-
= módulo de elasticidade (Young), unidades de pressão. -
= módulo de cisalhamento (shear modulus). -
= segundo momento de área (momento de inércia) da seção em relação ao eixo de flexão. -
= momento polar de inércia da seção (usado na torção). -
= momento fletor único que produz a mesma energia de distorção que e combinados.
-
- Não há outras forças (axiais) que contribuam para a energia — só flexão e torção.
Passo 2
Conceito e fórmula da energia de distorção por flexão (passo pedagógico): explico por que a energia por flexão vale a fórmula usada.
Quando um feixe sofre flexão, fibras na seção alongam ou encurtam. A curvatura local é
e a deformação axial numa fibra a uma coordenada
(distância do centro neutro) é
. A tensão axial nessa fibra é
.
A densidade de energia elástica (energia por volume) associada à tensão axial é
Integramos essa densidade sobre a área da seção para obter a energia por unidade de comprimento (energia por comprimento) devido à flexão:
Agora usamos a relação entre curvatura e momento fletor:
. Substituindo,
Portanto, a energia de flexão por unidade de comprimento é
Passo 3
Conceito e fórmula da energia de distorção por torção (passo pedagógico): explico por que a energia por torção vale a fórmula usada.
Para uma seção circular sujeita a um torque
, a tensão de cisalhamento a uma distância radial
do centro é proporcional a
:
. A deformação de cisalhamento é
.
A densidade de energia elástica por cisalhamento é
. Integramos sobre a área da seção:
Por definição, o momento polar de inércia é
. Assim:
Portanto, a energia de torção por unidade de comprimento é
Passo 4
Superposição das energias (passo pedagógico sobre linearidade): em materiais elásticos lineares as energias de deformação causadas por diferentes modos (flexão, torção) se somam — isso porque as contribuições de tensão/cepas são independentes e a energia é quadrática nas deformações. Logo a energia total por unidade de comprimento quando há simultaneamente
e
é
Passo 5
Definição de
e equação para obtê‑lo: queremos um momento fletor
tal que, aplicado sozinho (apenas flexão), produza a mesma energia total por unidade de comprimento. Ou seja,
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
obtemos
Portanto, uma forma geral para o momento fletor equivalente é
Aqui expliquei cada símbolo:
e
são os momentos aplicados;
são módulos e inércias da seção já definidos. Essa expressão é válida para qualquer seção (com os respectivos
) enquanto a hipótese de linearidade e superposição for válida.
Passo 6
Simplificação para seção circular maciça (usar dados da seção circular): para uma seção circular maciça de raio
(diâmetro
) temos fórmulas padrão:
Logo para seção circular sólida vale
. Substituindo em
temos
Para material isotrópico a relação entre
e
é
onde
é o coeficiente de Poisson. Assim
Passo 7
Expressão final para seção circular maciça: substituindo o fator anterior em
obtemos a forma simplificada específica para seção circular maciça:
Aqui
é o coeficiente de Poisson do material (por exemplo, para muitos aços
, logo o fator
). Interpretação: o torque contribui para a mesma energia de distorção que um termo adicional em
multiplicado por
.
Passo 8
Observações práticas e motivação para uso na prova (didática breve): na prova, se pedirem o momento fletor equivalente para barra circular, memorize a forma geral
e, para seção circular maciça, substitua
e use
para chegar em
Isso evita cálculos de integrais na hora — basta conhecer
e a relação entre
e
.