Um país tem 100 bilhões de metros cúbicos de reserva de gás natural. Se A(t) denota o total de gás consumido após t anos, então d A / d t é a taxa de consumo. Se a taxa de consumo é prevista em 5+0,01 t bilhōes de metros cúbicos por ano, qual o tempo aproximado (em anos) em que as reservas estarão esgotadas?

Passo 1

O enunciado diz que a reserva total de gás é de 100 bilhões de metros cúbicos e que a taxa de consumo é
\frac{dA}{dt}=5+0,01\,t
(em bilhões de metros cúbicos por ano). Precisamos achar o tempo T tal que o consumo acumulado A(T) seja 100. Para isso, vamos integrar a taxa de consumo e depois resolver a equação resultante.

Passo 2

Integrando \frac{dA}{dt}=5+0,01\,t com condição inicial A(0)=0, obtemos
A(t)=\int_{0}^{t}\bigl(5+0,01\,\tau\bigr)\,d\tau =\bigl[5\tau+0,005\,\tau^2\bigr]_{0}^{t} =5t+0,005\,t^2.

Passo 3

A condição de esgotamento é A(T)=100, ou seja,
5T+0,005\,T^2=100.
Reescrevendo, temos
0,005\,T^2+5T-100=0.

Passo 4

Para facilitar, multiplicamos a equação por 200:
T^2+1000\,T-20000=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
T=\frac{-1000\pm\sqrt{1000^2+4\cdot20000}}{2} =\frac{-1000\pm\sqrt{1000000+80000}}{2} =\frac{-1000\pm\sqrt{1080000}}{2}.

Passo 5

Calculando \sqrt{1080000}\approx1039{,}2, só a raiz positiva faz sentido:
T\approx\frac{-1000+1039{,}2}{2} =\frac{39{,}2}{2} =19{,}6\text{ anos}.

Resposta

O gás se esgotará em aproximadamente 19{,}6 anos.

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