Dê uma parametrização para cada uma das curvas:
x^{3}+y^{3}=6 x y (Folium de Descartes)

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização para a curva dada pela equação
x^{3}+y^{3}=6xy.
Informações relevantes do enunciado:
  • A curva é a Folium de Descartes na forma específica em que o parâmetro do modelo usual x^{3}+y^{3}=3a xy corresponde aqui a 3a=6, isto é, a=2.
  • O objetivo é fornecer expressões x(t) e y(t) em função de um parâmetro t que gerem todos (ou quase todos) os pontos da curva quando t varia.
  • Não há figuras ou valores adicionais fornecidos — só a equação implícita acima.

Passo 2

Ideia do método (por que essa escolha de parâmetro?): procurar uma parametrização racional partindo de uma relação linear entre x e y. Uma escolha natural é escrever y como múltiplo de x:
y = t x,
onde t é o parâmetro (real). Essa escolha é útil porque a equação é homogênea de grau 3 em x,y (os termos têm grau total 3), então substituir y=t x permite fatorar potências de x e resolver a equação para x em função de t. Essa é a técnica clássica para parametrizar curvas algébricas que passam pela origem.

Passo 3

Substituir y=t x na equação da curva e manipular algebricamente passo a passo:
Substituição:
x^{3}+(t x)^{3}=6x(t x).
Calcule cada termo:
x^{3}+t^{3}x^{3}=6t x^{2}.
Factor comum x^{2} (note que é seguro dividir por x^{2} desde que consideremos depois o caso x=0 separadamente):
x^{2}\bigl(x(1+t^{3})\bigr)=6t x^{2}.
Se x^{2}=0 então x=0 e pela substituição y=t x segue y=0: esse é o ponto (0,0). Agora supondo x\neq0 (ou simplificando cancelando x^{2}) obtém-se
x(1+t^{3})=6t.
Isolando x:
x=\frac{6t}{1+t^{3}},
desde que 1+t^{3}\neq0 (ou seja, t^{3}\neq-1, no caso real t\neq-1).

Passo 4

Encontrar y a partir de y=t x:
y = t x = t\cdot\frac{6t}{1+t^{3}}=\frac{6t^{2}}{1+t^{3}}.
Portanto uma parametrização racional da curva é
x(t)=\frac{6t}{1+t^{3}},\qquad y(t)=\frac{6t^{2}}{1+t^{3}}.

Passo 5

Verificações rápidas e comentários práticos (como usar isso na prova):
  • Verificar que a parametrização realmente satisfaz a equação: substituir x(t) e y(t) na equação e simplificar (as cancelações que fizemos na derivação mostram a consistência).
  • Domínio do parâmetro: t\in\mathbb{R} com t\neq-1 para evitar divisão por zero em 1+t^{3}. O valor t=-1 corresponde a um “ponto no infinito” / assíntota da forma projetiva da curva (na prática, não faz parte da parametrização racional finita).
  • Caso particular t=0: x(0)=0, y(0)=0, isto é, o ponto (0,0) (a origem) é obtido por t=0.
  • Comportamento em t\to\infty: ao dividir numerador e denominador por t^{3} nota-se que (x,y)\to(0,0) também quando t\to\pm\infty. Assim a origem é atingida por t=0 e também é o limite quando t\to\infty; isso significa que o parâmetro “volta” ao início ao atravessar o infinito (comportamento típico de parametrizações racionais).
  • Exemplos numéricos simples: t=1 x(1)=\frac{6\cdot1}{1+1}=3,\qquad y(1)=\frac{6\cdot1^{2}}{1+1}=3,que satisfaz 3^{3}+3^{3}=54 e 6\cdot3\cdot3=54. Outro exemplo: t=2 x=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}, y=\dfrac{24}{9}=\dfrac{8}{3}, que também satisfaz a equação ao verificar.

Passo 6

Observações adicionais pedagógicas (para ajudar a lembrar na prova):
  • A técnica principal foi: procurar uma relação linear y=tx que reduz a equação homogênea a uma equação em t e x com fator comum, permitindo resolver para x racionalmente. Para curvas homogêneas de grau n que passam pela origem, essa é quase sempre uma boa primeira tentativa.
  • Se precisar de outra forma de parametrização (por exemplo para desenho), pode tomar t=\tan(\theta) e escrever x(\theta)=\frac{6\tan\theta}{1+\tan^{3}\theta},\qquad y(\theta)=\frac{6\tan^{2}\theta}{1+\tan^{3}\theta},que é uma parametrização em termos de um ângulo \theta (útil se quiser relacionar direção e ângulo). Mas a forma racional em t é a mais simples e a que se usa normalmente.

Resposta

x(t)=\dfrac{6t}{1+t^{3}},\qquad y(t)=\dfrac{6t^{2}}{1+t^{3}},\quad t\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}