Dê uma parametrização para cada uma das curvas:
(Folium de Descartes)
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização para a curva dada pela equação
Informações relevantes do enunciado:
- A curva é a Folium de Descartes na forma específica em que o parâmetro do modelo usual
corresponde aqui a , isto é, . - O objetivo é fornecer expressões
e em função de um parâmetro que gerem todos (ou quase todos) os pontos da curva quando varia. - Não há figuras ou valores adicionais fornecidos — só a equação implícita acima.
Passo 2
Ideia do método (por que essa escolha de parâmetro?): procurar uma parametrização racional partindo de uma relação linear entre
e
. Uma escolha natural é escrever
como múltiplo de
:
onde
é o parâmetro (real). Essa escolha é útil porque a equação é homogênea de grau
em
(os termos têm grau total 3), então substituir
permite fatorar potências de
e resolver a equação para
em função de
. Essa é a técnica clássica para parametrizar curvas algébricas que passam pela origem.
Passo 3
Substituir
na equação da curva e manipular algebricamente passo a passo:
Substituição:
Calcule cada termo:
Factor comum
(note que é seguro dividir por
desde que consideremos depois o caso
separadamente):
Se
então
e pela substituição
segue
: esse é o ponto
. Agora supondo
(ou simplificando cancelando
) obtém-se
Isolando
:
desde que
(ou seja,
, no caso real
).
Passo 4
Encontrar
a partir de
:
Portanto uma parametrização racional da curva é
Passo 5
Verificações rápidas e comentários práticos (como usar isso na prova):
- Verificar que a parametrização realmente satisfaz a equação: substituir
e na equação e simplificar (as cancelações que fizemos na derivação mostram a consistência). - Domínio do parâmetro:
com para evitar divisão por zero em . O valor corresponde a um “ponto no infinito” / assíntota da forma projetiva da curva (na prática, não faz parte da parametrização racional finita). - Caso particular
: , , isto é, o ponto (a origem) é obtido por . - Comportamento em
: ao dividir numerador e denominador por nota-se que também quando . Assim a origem é atingida por e também é o limite quando ; isso significa que o parâmetro “volta” ao início ao atravessar o infinito (comportamento típico de parametrizações racionais). - Exemplos numéricos simples:
dá que satisfaz e . Outro exemplo: dá , , que também satisfaz a equação ao verificar.
Passo 6
Observações adicionais pedagógicas (para ajudar a lembrar na prova):
- A técnica principal foi: procurar uma relação linear
que reduz a equação homogênea a uma equação em e com fator comum, permitindo resolver para racionalmente. Para curvas homogêneas de grau que passam pela origem, essa é quase sempre uma boa primeira tentativa. - Se precisar de outra forma de parametrização (por exemplo para desenho), pode tomar
e escrever que é uma parametrização em termos de um ângulo (útil se quiser relacionar direção e ângulo). Mas a forma racional em é a mais simples e a que se usa normalmente.