Parametrize as superfícies em
dadas pelas equações:
e
(cilindro em
)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma superfície no espaço tridimensional definida pelas equações
e
. Isso descreve um cilindro com raio 2, pois
é a equação de um círculo de raio 2 no plano
. O intervalo
indica que estamos considerando apenas a parte do cilindro entre as alturas
e
. Nosso objetivo aqui é parametrizar essa superfície, ou seja, encontrar uma forma de descrever qualquer ponto dessa superfície usando dois parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como representar um círculo no plano
. Para isso, usamos coordenadas polares, onde um ponto no círculo pode ser descrito por um ângulo
. Assim, podemos escrever:
Aqui,
varia de
a
para cobrir todo o círculo.
Passo 3
Agora, como o cilindro se estende ao longo do eixo
entre
e
, podemos usar
como nosso segundo parâmetro. Isso significa que para cada valor de
,
pode variar de
a
.
Passo 4
Com isso, conseguimos expressar a posição de qualquer ponto na superfície do cilindro usando os dois parâmetros
e
. Juntando as expressões para
,
e incluindo
, temos a parametrização completa.
Resposta
A parametrização da superfície do cilindro é dada por:
onde
varia de
a
e
está entre
e
.