Parametrize as superfícies em R^3 dadas pelas equações: x^2 + z^2 = 4 e 1 <= y <= 3 (cilindro em R^3 )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma superfície no espaço tridimensional definida pelas equações e . Isso descreve um cilindro com raio 2, pois é a equação de um círculo de raio 2 no plano . O intervalo indica que estamos considerando apenas a parte do cilindro entre as alturas e . Nosso objetivo aqui é parametrizar essa superfície, ou seja, encontrar uma forma de descrever qualquer ponto dessa superfície usando dois parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como representar um círculo no plano . Para isso, usamos coordenadas polares, onde um ponto no círculo pode ser descrito por um ângulo . Assim, podemos escrever:
Aqui, varia de a para cobrir todo o círculo.

Passo 3

Agora, como o cilindro se estende ao longo do eixo entre e , podemos usar como nosso segundo parâmetro. Isso significa que para cada valor de , pode variar de a .

Passo 4

Com isso, conseguimos expressar a posição de qualquer ponto na superfície do cilindro usando os dois parâmetros e . Juntando as expressões para , e incluindo , temos a parametrização completa.

Resposta

A parametrização da superfície do cilindro é dada por:
onde varia de a e está entre e .

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