O parâmetro que correlaciona a tensăo aplicada com o tamanho máximo da trinca é denominado
. No ensaia de fadiga as tensões aplicadas variam durante o ensaio. Podemos usar o valor de
para determinar a resistência à fratura por fadiga ? Explique e apresente as possiveis equações matemáticas que podem ser usadas nas análises das faixas do fator de intensidade de tensão e como este fator esta relacionado com o crescimento da trinca em função com o número de ciclos aplicados.
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas principais: (1) se podemos usar o valor de
para determinar a resistência à fratura por fadiga; (2) pedir que eu explique e apresente as possíveis equações matemáticas usadas nas análises das faixas do fator de intensidade de tensão e como esse fator está relacionado com o crescimento da trinca em função do número de ciclos aplicados.
Informações dadas (resumidas): o parâmetro que relaciona tensão aplicada e tamanho máximo da trinca foi chamado de (vou entender isso como um parâmetro crítico de intensidade de tensões) e o enunciado cita
em ensaio de fadiga. O enunciado pede explicação conceitual e apresentação das equações aplicáveis às diferentes faixas do fator de intensidade de tensão, e como elas ligam
ao crescimento de trinca por número de ciclos
.
Informações dadas (resumidas): o parâmetro que relaciona tensão aplicada e tamanho máximo da trinca foi chamado de
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fator de intensidade de tensões (SIF) e sua fórmula básica — isso é fundamental e aparece em todas as equações posteriores.
Definição: o fator de intensidade de tensões mede a intensidade do campo de tensões próximo à ponta da trinca; é proporcional à tensão aplicada e à raiz do comprimento da trinca. A fórmula genérica é:
Definição: o fator de intensidade de tensões
onde:
-
é o fator de intensidade de tensões (unidade típica: ); -
é um fator geométrico adimensional que depende da geometria da peça e da trinca (por exemplo, para certas geometrias ideais, para trinca de borda, etc.); -
é a tensão aplicada (em ); -
é o comprimento da trinca (para trincas internas pode ser semi-comprimento, para trinca de borda outro valor — sempre use consistente com a fórmula de ).
Explicando:
mostra que o efeito da trinca cresce com a raiz do seu comprimento — quanto maior a trinca, maior o
para a mesma tensão.
Passo 3
Agora introduzimos carregamento cíclico — o que muda é que a tensão varia no tempo, portanto
também varia conforme o ciclo. Definições importantes:
-
é o valor máximo de no ciclo. -
é o valor mínimo de no ciclo. -
é a amplitude do fator de intensidade de tensões, com . -
é a razão de carga: .
Importante didático: em fadiga o parâmetro mais relevante para o crescimento da trinca é
(a variação), não apenas
ou um valor estático. Entretanto,
importa porque, se
atingir o valor crítico de fratura estática (ou cíclica), ocorre fratura instável.
Passo 4
Faixas clássicas de comportamento do crescimento de trinca por fadiga (visão qualitativa, muito usada em provas):
- Região I (próxima ao limiar):
abaixo de um limiar praticamente não gera crescimento mensurável de trinca. Existe um valor limiar tal que, se , o crescimento é desprezível. - Região II (região intermediária de crescimento): crescimento controlado por uma lei de potência, onde da/dN depende de
por uma potência — é a região do comportamento estacionário (a mais utilizada na prática). - Região III (região de aceleração próxima da fratura): quando
se aproxima do valor crítico de fratura (por exemplo ou ), o crescimento torna-se muito rápido e culmina na fratura instável.
Vamos escrever as equações típicas para cada faixa.
Passo 5
Lei de Paris — Região II (a mais simples e a mais pedida em provas). É uma lei empírica que liga a velocidade de crescimento por ciclo ao intervalo
:
onde:
-
é a taxa de crescimento da trinca por ciclo (por exemplo, ); -
e são constantes empíricas da liga/material obtidas por ensaio; tipicamente varia entre e para metais usuais; -
está em .
Explicação: para usar essa fórmula você precisa saber
e
do material e calcular
com a geometria apropriada.
Passo 6
Liminal (near-threshold) e formas modificadas. Próximo do limiar costuma-se usar uma forma que introduz um limiar
:
ou, de forma equivalente para ajuste empírico, usa-se:
Também existe a ideia de
(variação efetiva) para levar em conta o efeito de fechamento de trinca (crack closure):
onde
é o valor de
no qual a trinca abre durante o ciclo. Na prática usa-se
no lugar de
na lei de Paris quando closure é relevante.
Passo 7
Região III (perto da fratura estática/cíclica) — equações que consideram o limite de instabilidade: fratura ocorre quando
atinge o valor crítico de fratura
(ou
em fratura estática). Logo condição de fratura final:
Dessa expressão podemos isolar o comprimento crítico da trinca
que leva à fratura instantânea:
Interpretação prática e resposta curta à primeira pergunta do enunciado: não, o valor isolado de
não é suficiente para determinar a resistência à fratura por fadiga, porque
fornece o critério de fratura instável (se
atinge esse valor ocorre fratura), mas a fadiga envolve o crescimento progressivo da trinca controlado por
,
, pelas constantes
, e por efeitos de razão de carga
, meio ambiente e fechamento. Em outras palavras:
diz quando a trinca vai romper de forma instável; as leis de crescimento (Paris e variantes) dizem quantos ciclos são necessários para atingir o tamanho crítico.
Passo 8
Integração da lei de Paris para obter número de ciclos necessário para crescer de
a
— passo-a-passo (útil na prova):
Partimos de
Partimos de
Reorganizando:
Integrando de
até
:
Essa integral depende de
:
- Se
:
logo
- Se
:
logo
Interpretação: com
conhecidos e sabendo
(logo
),
e os comprimentos iniciais e finais, você pode estimar
esperados para o crescimento da trinca — isso é exatamente o cálculo de vida por fadiga por crescimento de trinca.
Passo 9
Efeitos adicionais que aparecem em análise prática (mencionar para provas e para não errar):
- Efeito da razão de carga
: curvas vs dependem de ; modelos empíricos ou uso de ajudam a incorporar esse efeito. - Modelos além de Paris: Forman (incorpora aceleração quando
se aproxima de ) e NASGRO (mais parâmetros para descrever desde limiar até fratura). Uma forma comum do modelo de Forman (empírica) é:
onde
é o valor de colapso/fratura (às vezes
na sua notação). Essa forma mostra que quando
se aproxima de
o denominador tende a zero e
explode — interpreta a transição para a Região III. (Observação: a forma exata e os expoentes variam entre formulações; todas são empíricas e os parâmetros são obtidos experimentalmente.)
- Fadiga por amplitudes variáveis: não dá para usar diretamente a integração acima sem levar em conta efeitos de sobre/baixo carga, retardação por sobrecarga, e métodos de contagem de ciclos (Palmgren–Miner, rainflow) e modelos que calculam o efeito do histórico de tensão. Em prova, geralmente pedem a integração para carregamento constante (amplitude constante).
Passo 10
Resumo prático para a prova (como aplicar no tempo limitado):
- Não: não use apenas
para determinação da vida de fadiga. Use como condição de fratura final (quando ocorre fratura instável). - Para estimar vida de crescimento de trinca: calcule
, escolha a lei de crescimento (Paris ou modificada), e integre de a (onde vem de ). - Fórmulas-chave que você deve decorar e saber usar:
e a expressão integrada para
(do Passo 8).
Resposta
Não —
isoladamente não determina a resistência à fratura por fadiga; ele fornece o critério de fratura instável (quando
) mas a vida por fadiga depende do crescimento progressivo controlado por
, por constantes do material
e
, por
, e por efeitos de razão de carga e fechamento.
Fórmulas essenciais:
Fórmulas essenciais:
Integração da lei de Paris (crescimento de
a
):