Uma parede plana com temperatura de superfície de
está ligada a aletas retangulares retas (
). As aletas são expostas à condição do ar ambiente a
, e o coeficiente de transferência de calor por convecção é
. Cada aleta tem comprimento de 50 mm , base de 5 mm de espessura e largura de 100 mm . Determine a taxa de transferência de calor de uma aleta, a sua eficiência a sua eficácia e a temperatura da ponta da aleta. Qual é o erro em assumir a ponta da aleta adiabática?
Passo 1
O enunciado pede:
- Determinar a taxa de transferência de calor de uma aleta (uma aleta isolada mostrada na figura).
- Determinar a eficiência da aleta.
- Determinar a eficácia (effectiveness) da aleta.
- Determinar a temperatura da ponta da aleta.
- Calcular o erro ao assumir que a ponta da aleta é adiabática.
Dados fornecidos (peguei estes números da imagem):
- Temperatura da base:
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Coeficiente de convecção:
. - Condutividade térmica do material da aleta:
. - Comprimento da aleta:
. - Espessura (altura da secção) da aleta:
. - Largura (profundidade, extensão perpendicular ao plano do comprimento) da aleta:
.
Observações de leitura do enunciado:
- A aleta é retangular e homogênea; a convecção ocorre nas superfícies externas e também na ponta (condição de convecção na ponta).
- Queremos a solução para a aleta com ponta convectiva (não adiabática) e comparar com a hipótese adiabática.
Passo 2
Breve teoria — o que é preciso saber (aula curtinha e direta):
- Para uma aleta reta, de seção constante, a equação diferencial linear que descreve o campo de temperatura (no regime permanente, sem geração interna) leva à solução em termos de funções hiperbólicas. Define-se a variável de excesso de temperatura
. - A constante
junta as propriedades geométricas e térmicas da aleta:
onde
-
é o coeficiente convectivo ( ), -
é o perímetro molhado da seção transversal (perímetro exposto à convecção, em ), -
é a condutividade térmica ( ), -
é a área da seção transversal ( ). -
Para uma aleta retangular (espessura
, largura ) a seção transversal é . O perímetro molhado ao longo do comprimento é (topo + fundo + duas bordas). -
Solução importante (aleta com condição de convecção na ponta,
): - Taxa de calor retirada pela aleta:
(É equivalente afração hiperbólica mostrada, porque .) - Temperatura na ponta
:
-
Definições práticas:
- Eficiência da aleta
: razão entre o calor efetivamente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a área da aleta estivesse à temperatura da base:
ondeé a área total exposta à convecção (área lateral mais área da ponta ): . - Eficácia (effectiveness)
: quão mais calor a aleta extrai em relação à área da parede que ela ocupa. Para uma única aleta isolada normalmente se usa a área de contato da base (área de “pé” da aleta) . Assim
(Explicação: sem aleta, a mesma área de base liberaria; a aleta aumenta essa retirada.) - Eficiência da aleta
Passo 3
Calcular parâmetros geométricos e
:
- Área da seção transversal:
- Perímetro molhado:
- Constante
:
Calculemos passo a passo:
Passo 4
Calcular os termos hiperbólicos necessários:
- Produto adimensional:
- Coeficiente
:
- Avaliando hiperbólicas (valores numéricos aproximados):
(Calculados a partir de
.)
Passo 5
Calcular a taxa de transferência de calor
(condição de ponta convectiva):
- Primeiro calcule o fator hiperbólico na fórmula:
- Calcule o prefator
(ou alternativamente ):
(Consistente com
.)
- Diferença de temperatura:
- Agora:
Portanto a taxa de calor retirada por uma aleta isolada é aproximadamente
.
Passo 6
Temperatura da ponta
:
- Fórmula:
- Usando o denominador já calculado
:
Logo
Arredondando:
.
Passo 7
Eficiência da aleta
:
- Área total exposta da aleta:
- Denominador teórico (se toda a área estivesse à
):
- Eficiência:
Passo 8
Eficácia (effectiveness)
:
- Usando a definição padrão para uma aleta isolada (comparação com a área de base da aleta
):
- Calcule o calor que essa área liberaria sem aleta:
- Efetividade:
Isto significa que a aleta aumenta em cerca de 17,8 vezes a retirada de calor em comparação com a pequena área de contato com a parede que ela ocupa.
Passo 9
Erro ao assumir ponta adiabática:
- Para ponta adiabática (isolada) a expressão para
é (fórmula clássica):
- Calcule
- Então
- Diferença e erro percentual (comparando com o valor exato com ponta convectiva):
Percentual relativo (erro na estimativa):
Portanto, assumir a ponta adiabática levaria a subestimar a transferência de calor em cerca de
(erro pequeno neste caso).
Resposta
Erro ao assumir ponta adiabática: aproximadamente