Uma parede plana com temperatura de superfície de 350^{\circ} \mathrm{C} está ligada a aletas retangulares retas ( k=235 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ). As aletas são expostas à condição do ar ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C}, e o coeficiente de transferência de calor por convecção é 154 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. Cada aleta tem comprimento de 50 mm , base de 5 mm de espessura e largura de 100 mm . Determine a taxa de transferência de calor de uma aleta, a sua eficiência a sua eficácia e a temperatura da ponta da aleta. Qual é o erro em assumir a ponta da aleta adiabática?

Passo 1

O enunciado pede:
  • Determinar a taxa de transferência de calor de uma aleta (uma aleta isolada mostrada na figura).
  • Determinar a eficiência da aleta.
  • Determinar a eficácia (effectiveness) da aleta.
  • Determinar a temperatura da ponta da aleta.
  • Calcular o erro ao assumir que a ponta da aleta é adiabática.
Dados fornecidos (peguei estes números da imagem):
  • Temperatura da base: T_b = 350^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty = 25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção: h = 154\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Condutividade térmica do material da aleta: k = 235\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Comprimento da aleta: L = 50\\ \mathrm{mm}=0{,}050\\ \mathrm{m}.
  • Espessura (altura da secção) da aleta: t = 5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Largura (profundidade, extensão perpendicular ao plano do comprimento) da aleta: w = 100\\ \mathrm{mm}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
Observações de leitura do enunciado:
  • A aleta é retangular e homogênea; a convecção ocorre nas superfícies externas e também na ponta (condição de convecção na ponta).
  • Queremos a solução para a aleta com ponta convectiva (não adiabática) e comparar com a hipótese adiabática.

Passo 2

Breve teoria — o que é preciso saber (aula curtinha e direta):
  • Para uma aleta reta, de seção constante, a equação diferencial linear que descreve o campo de temperatura (no regime permanente, sem geração interna) leva à solução em termos de funções hiperbólicas. Define-se a variável de excesso de temperatura \theta(x)=T(x)-T_\infty.
  • A constante m junta as propriedades geométricas e térmicas da aleta:
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}},
onde
  • h é o coeficiente convectivo ( \mathrm{W/(m^2\cdot K)}),
  • P é o perímetro molhado da seção transversal (perímetro exposto à convecção, em \mathrm{m}),
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)}),
  • A_c é a área da seção transversal ( \mathrm{m^2}).
  • Para uma aleta retangular (espessura t, largura w) a seção transversal é A_c = t\cdot w. O perímetro molhado ao longo do comprimento é P = 2(w + t) (topo + fundo + duas bordas).
  • Solução importante (aleta com condição de convecção na ponta, x=L):
    • Taxa de calor retirada pela aleta:
    q_f = \sqrt{hPkA_c}\,(T_b - T_\infty)\; \frac{\operatorname{sinh}(mL) + \dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)} {\operatorname{cosh}(mL) + \dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
    (É equivalente a q_f = mkA_c (T_b-T_\infty)\times fração hiperbólica mostrada, porque mkA_c=\sqrt{hPkA_c}.)
    • Temperatura na ponta x=L:
    T(L) = T_\infty + (T_b-T_\infty)\; \frac{1}{\operatorname{cosh}(mL) + \dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
  • Definições práticas:
    • Eficiência da aleta \eta_f: razão entre o calor efetivamente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a área da aleta estivesse à temperatura da base:
    \eta_f = \dfrac{q_f}{h A_{\text{fin}} (T_b - T_\infty)},
    onde A_{\text{fin}} é a área total exposta à convecção (área lateral P L mais área da ponta A_c): A_{\text{fin}} = P L + A_c.
    • Eficácia (effectiveness) \varepsilon: quão mais calor a aleta extrai em relação à área da parede que ela ocupa. Para uma única aleta isolada normalmente se usa a área de contato da base (área de “pé” da aleta) A_b = w\cdot t = A_c. Assim
    \varepsilon = \dfrac{q_f}{h A_b (T_b - T_\infty)} = \dfrac{q_f}{h A_c (T_b - T_\infty)}.
    (Explicação: sem aleta, a mesma área de base liberaria hA_b(T_b-T_\infty); a aleta aumenta essa retirada.)

Passo 3

Calcular parâmetros geométricos e m:
  • Área da seção transversal:
A_c = t\cdot w = 0{,}005\cdot 0{,}100 = 0{,}0005\\ \mathrm{m^2}.
  • Perímetro molhado:
P = 2(w + t) = 2(0{,}100 + 0{,}005) = 0{,}21\\ \mathrm{m}.
  • Constante m:
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}=\sqrt{\dfrac{154\cdot 0{,}21}{235\cdot 0{,}0005}}.
Calculemos passo a passo:
154\cdot 0{,}21 = 32{,}34,\qquad 235\cdot 0{,}0005 = 0{,}1175,
\frac{32{,}34}{0{,}1175}\approx 275{,}03,\qquad m\approx\sqrt{275{,}03}\approx 16{,}58\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 4

Calcular os termos hiperbólicos necessários:
  • Produto adimensional:
mL = 16{,}58\times 0{,}050\approx 0{,}829.
  • Coeficiente \dfrac{h}{m k}:
\frac{h}{mk}=\frac{154}{16{,}58\cdot 235}\approx 0{,}0395.
  • Avaliando hiperbólicas (valores numéricos aproximados):
\operatorname{cosh}(mL)\approx 1{,}364,\qquad \operatorname{sinh}(mL)\approx 0{,}928.
(Calculados a partir de mL\approx0{,}829.)

Passo 5

Calcular a taxa de transferência de calor q_f (condição de ponta convectiva):
  • Primeiro calcule o fator hiperbólico na fórmula:
\mathrm{num}=\operatorname{sinh}(mL) + \frac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL) \approx 0{,}928 + 0{,}0395\cdot 1{,}364 \approx 0{,}9817,
\mathrm{den}=\operatorname{cosh}(mL) + \frac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL) \approx 1{,}364 + 0{,}0395\cdot 0{,}928 \approx 1{,}4008,
\frac{\mathrm{num}}{\mathrm{den}}\approx \frac{0{,}9817}{1{,}4008}\approx 0{,}7009.
  • Calcule o prefator \sqrt{hPkA_c} (ou alternativamente mkA_c):
mkA_c = m\cdot k\cdot A_c \approx 16{,}58\cdot 235\cdot 0{,}0005 \approx 1{,}949\\ \mathrm{W/K}.
(Consistente com \sqrt{hPkA_c}\approx 1{,}949.)
  • Diferença de temperatura:
T_b-T_\infty = 350 - 25 = 325\\ \mathrm{K}.
  • Agora:
q_f = mkA_c\,(T_b-T_\infty)\cdot\frac{\mathrm{num}}{\mathrm{den}} \approx 1{,}949\cdot 325\cdot 0{,}7009 \approx 444\\ \mathrm{W}.
Portanto a taxa de calor retirada por uma aleta isolada é aproximadamente 444\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Temperatura da ponta T(L):
  • Fórmula:
T(L) = T_\infty + (T_b-T_\infty)\;\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL) + \dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
  • Usando o denominador já calculado \mathrm{den}\approx 1{,}4008:
\theta(L)=T(L)-T_\infty = \frac{325}{1{,}4008}\approx 232{,}09\\ \mathrm{K}.
Logo
T(L)=T_\infty + \theta(L)\approx 25 + 232{,}09 \approx 257{,}09^\circ\mathrm{C}.
Arredondando: T(L)\approx 257{,}1^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Eficiência da aleta \eta_f:
  • Área total exposta da aleta:
A_{\text{fin}} = P L + A_c = 0{,}21\cdot 0{,}05 + 0{,}0005 = 0{,}0105 + 0{,}0005 = 0{,}0110\\ \mathrm{m^2}.
  • Denominador teórico (se toda a área estivesse à T_b):
h A_{\text{fin}} (T_b-T_\infty) = 154\cdot 0{,}0110\cdot 325 \approx 550{,}6\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência:
\eta_f = \frac{q_f}{h A_{\text{fin}} (T_b-T_\infty)} \approx \frac{444}{550{,}6}\approx 0{,}806 \; (80{,}6\%).

Passo 8

Eficácia (effectiveness) \varepsilon:
  • Usando a definição padrão para uma aleta isolada (comparação com a área de base da aleta A_b=A_c=w\cdot t):
A_b = A_c = 0{,}0005\\ \mathrm{m^2}.
  • Calcule o calor que essa área liberaria sem aleta:
h A_b (T_b-T_\infty) = 154\cdot 0{,}0005\cdot 325 \approx 25{,}03\\ \mathrm{W}.
  • Efetividade:
\varepsilon = \frac{q_f}{h A_b (T_b-T_\infty)} \approx \frac{444}{25{,}03}\approx 17{,}8.
Isto significa que a aleta aumenta em cerca de 17,8 vezes a retirada de calor em comparação com a pequena área de contato com a parede que ela ocupa.

Passo 9

Erro ao assumir ponta adiabática:
  • Para ponta adiabática (isolada) a expressão para q é (fórmula clássica):
q_{\text{adiab}} = mkA_c (T_b-T_\infty)\operatorname{tanh}(mL).
  • Calcule \operatorname{tanh}(mL)=\dfrac{\operatorname{sinh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)}\approx \dfrac{0{,}928}{1{,}364}\approx 0{,}6802.
  • Então
q_{\text{adiab}} \approx 1{,}949\cdot 325\cdot 0{,}6802 \approx 431{,}1\\ \mathrm{W}.
  • Diferença e erro percentual (comparando com o valor exato com ponta convectiva):
\Delta q = q_f - q_{\text{adiab}} \approx 444 - 431{,}1 = 12{,}9\\ \mathrm{W}.
Percentual relativo (erro na estimativa):
\frac{\Delta q}{q_f}\times 100\%\approx \frac{12{,}9}{444}\times 100\%\approx 2{,}9\%.
Portanto, assumir a ponta adiabática levaria a subestimar a transferência de calor em cerca de 2{,}9\% (erro pequeno neste caso).

Resposta

q_f \approx 444\\ \mathrm{W}
\eta_f \approx 0{,}806 (ou 80{,}6\%)
\varepsilon \approx 17{,}8
T(L) \approx 257{,}1^\circ\mathrm{C}
Erro ao assumir ponta adiabática: aproximadamente 2{,}9\% (subestimação de \approx 12{,}9\\ \mathrm{W})

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