Uma partćula está viajando a \frac{3}{5} c ao longo do eixo- x. Determine sua velocidade própria (as quatro componentes).

Passo 1

O enunciado dá que uma partícula move-se ao longo do eixo- x com velocidade v=\dfrac{3}{5}c. A tarefa é determinar a sua velocidade própria, isto é, as quatro componentes da quatro-velocidade (os quatro componentes de U^\mu). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Velocidade espacial ao longo do eixo- x: v_x=\dfrac{3}{5}c.
  • Velocidades nas direções y e z são nulas: v_y=0 e v_z=0.
  • O que se pede: as quatro componentes de U^\mu.

Passo 2

Explicação do conceito e das fórmulas que vamos usar (devagar e com carinho).
  • A quatro-velocidade U^\mu de uma partícula é definida como a derivada das coordenadas de espaço-tempo em relação ao tempo próprio \tau:
U^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}.
Aqui x^\mu=(ct, x, y, z), então as componentes são U^0=\dfrac{c\,dt}{d\tau} e U^i=\dfrac{dx^i}{d\tau} para i=1,2,3.
  • O tempo próprio \tau e o tempo coordenado t estão relacionados pela dilatação temporal:
d\tau = dt\,\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.
Explicando: d\tau é o tempo medido no referencial da partícula; se a partícula se move com velocidade v num referencial, o intervalo de tempo entre dois acontecimentos no referencial se relaciona com o tempo próprio por esse fator raiz.
  • Definimos o fator de Lorentz (fator gamma):
\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.
Com isso obtemos formas úteis para as componentes:
U^0=\gamma c,\qquad U^i=\gamma v^i.
Aqui v^i são as componentes da velocidade espacial ( v^1=v_x, v^2=v_y, v^3=v_z). Isso vem de U^0 = c\,dt/d\tau = \gamma c e U^i = dx^i/d\tau = (dx^i/dt)(dt/d\tau)=\gamma v^i.
  • Propriedade importante (cheque de consistência): com métrica de sinal +,-,-,- vale
U^\mu U_\mu = c^2,
ou seja, a quatro-velocidade tem norma igual a c (isso mostra que U^\mu é normalizada pelo tempo próprio).

Passo 3

Calcular o fator \gamma para v=\dfrac{3}{5}c.
  • Primeiro calcule \dfrac{v^2}{c^2}:
\frac{v^2}{c^2}=\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}.
  • Então
1-\frac{v^2}{c^2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}.
  • Logo
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\tfrac{16}{25}}}=\frac{1}{\tfrac{4}{5}}=\frac{5}{4}.

Passo 4

Calcular as componentes da quatro-velocidade usando \;U^0=\gamma c\; e \;U^i=\gamma v^i\;.
  • Com \gamma=\dfrac{5}{4} e v_x=\dfrac{3}{5}c:
U^0=\gamma c=\frac{5}{4}c.
U^1=\gamma v_x=\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{5}c=\frac{3}{4}c.
  • Como v_y=0 e v_z=0:
U^2=\gamma v_y=0,\qquad U^3=\gamma v_z=0.
  • Assim a quatro-velocidade contravariante fica
U^\mu=\left(\frac{5}{4}c,\;\frac{3}{4}c,\;0,\;0\right).

Passo 5

Checagem rápida de consistência (para ganhar confiança):
  • Calcule U^\mu U_\mu com métrica +,-,-,-:
U^\mu U_\mu=\gamma^2(c^2-v^2).
Substituindo \gamma^2=(5/4)^2=\tfrac{25}{16} e c^2-v^2=c^2\left(1-\tfrac{9}{25}\right)=c^2\cdot\tfrac{16}{25}, obtém-se
U^\mu U_\mu=\frac{25}{16}\cdot\frac{16}{25}c^2=c^2,
o que confirma que a normalização está correta. Pequeno alivio — tudo bate certinho!

Resposta

U^\mu=\left(\frac{5}{4}c,\;\frac{3}{4}c,\;0,\;0\right)