Uma partćula está viajando a
ao longo do eixo-
. Determine sua velocidade própria (as quatro componentes).
Passo 1
O enunciado dá que uma partícula move-se ao longo do eixo-
com velocidade
. A tarefa é determinar a sua velocidade própria, isto é, as quatro componentes da quatro-velocidade (os quatro componentes de
). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Velocidade espacial ao longo do eixo-
: . - Velocidades nas direções
e são nulas: e . - O que se pede: as quatro componentes de
.
Passo 2
Explicação do conceito e das fórmulas que vamos usar (devagar e com carinho).
- A quatro-velocidade
de uma partícula é definida como a derivada das coordenadas de espaço-tempo em relação ao tempo próprio :
Aqui
, então as componentes são
e
para
.
- O tempo próprio
e o tempo coordenado estão relacionados pela dilatação temporal:
Explicando:
é o tempo medido no referencial da partícula; se a partícula se move com velocidade
num referencial, o intervalo de tempo entre dois acontecimentos no referencial se relaciona com o tempo próprio por esse fator raiz.
- Definimos o fator de Lorentz (fator gamma):
Com isso obtemos formas úteis para as componentes:
Aqui
são as componentes da velocidade espacial (
,
,
). Isso vem de
e
.
- Propriedade importante (cheque de consistência): com métrica de sinal
vale
ou seja, a quatro-velocidade tem norma igual a
(isso mostra que
é normalizada pelo tempo próprio).
Passo 3
Calcular o fator
para
.
- Primeiro calcule
:
- Então
- Logo
Passo 4
Calcular as componentes da quatro-velocidade usando
e
.
- Com
e :
- Como
e :
- Assim a quatro-velocidade contravariante fica
Passo 5
Checagem rápida de consistência (para ganhar confiança):
- Calcule
com métrica :
Substituindo
e
, obtém-se
o que confirma que a normalização está correta. Pequeno alivio — tudo bate certinho!