Os participantes de uma reunião ocuparam a totalidade dos lugares existentes em mesas que comportavam sete ocupantes cada uma. Entretanto, para melhorar o conforto, foram trazidas mais quatro mesas e os presentes redistribuíram-se, ficando em cada uma das mesas exatamente seis pessoas. Assim, é correto afirmar que o número de participantes na reunião era
a) 84 .
b) 126 .
c) 168 .
d) 210 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro o que foi dito):
  • Havia um número inteiro de participantes, que vamos chamar de N.
  • Inicialmente os participantes ocuparam completamente mesas que comportavam exatamente 7 pessoas cada. Ou seja, todas as mesas estavam cheias.
  • Em seguida foram trazidas mais 4 mesas e os presentes se redistribuíram de modo que, agora, havia exatamente 6 pessoas em cada mesa.
  • O que o exercício pede: determinar o valor de N (o número de participantes) entre as alternativas dadas.

Passo 2

Vou introduzir uma variável inteira para contar o número de mesas iniciais:
  • Seja t o número de mesas antes de trazer as 4 mesas extras. Como as mesas iniciais estavam todas cheias com 7 pessoas cada, o número total de pessoas satisfaz
N = 7t.
  • Depois de trazer 4 mesas, o número total de mesas passou a ser t+4. Como a redistribuição deixou exatamente 6 pessoas por mesa, também vale
N = 6(t+4).
Explicação didática: aqui usamos a ideia simples de contagem (cada mesa contribui com um certo número de lugares ocupados). Como N é o mesmo em ambas as expressões, podemos igualá-las. Note que t e N devem ser inteiros não negativos.

Passo 3

Igualando as duas expressões para N obtemos uma equação linear em t:
7t = 6(t+4).
Vou desenvolver passo a passo a álgebra:
7t = 6t + 24,
subtraindo 6t de ambos os lados,
7t - 6t = 24,
portanto
t = 24.
Interpretação: havia 24 mesas inicialmente.

Passo 4

Agora calculo N usando uma das fórmulas. Usando N=7t:
N = 7\cdot 24 = 168.
Verificação rápida usando a outra expressão: t+4 = 24+4 = 28 e
6(t+4) = 6\cdot 28 = 168,
portanto ambas as contas conferem. Isso confirma que N é inteiro e consistente com as duas distribuições.

Passo 5

Resumo do raciocínio (dica para a prova): ao ver problemas de redistribuição em mesas ou grupos, é eficiente
  1. definir uma variável para o número de mesas (ou grupos) iniciais,
  2. escrever uma equação para o total antes e outra para o total depois,
  3. igualar as duas expressões e resolver a equação linear, assegurando que a solução seja inteira e faça sentido no contexto.
Força aí — o método é curtinho e raro de dar erro quando feito passo a passo.

Resposta

168