Uma partícula apresenta a seguinte relação entre a velocidade
e a posição
Com base na relação acima calcule:
b) A relação da velocidade
em função do tempo
, sabendo que quando
foi igual a 0 s a velocidade inicial foi de
b) A relação da velocidade
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma partícula cuja velocidade
está relacionada à posição
pela fórmula
. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a velocidade
em função do tempo
, sabendo que quando
segundos, a velocidade inicial foi de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a relação entre velocidade, posição e tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo
, ou seja:
Dado que
, podemos escrever:
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar
, e depois disso, podemos achar
.
Passo 3
Vamos separar as variáveis
e
para facilitar a integração. Reorganizando a equação:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral de
é
e a de
é
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial. Quando
, a velocidade
. Sabemos que
, então:
onde
é a posição inicial. Daí:
Agora, substituímos
e
na equação anterior:
Passo 5
Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Resolvendo para
:
Para facilitar, podemos fatorar
:
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar
usando:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
A relação da velocidade
em função do tempo
é: