Uma partícula carregada (um elétron ou um próton) está se movendo para a direita entre duas placas paralelas carregadas separadas por uma distância de
. Os potenciais das placas são
(esquerda) e
(direita). A partícula partiu da placa da esquerda com velocidade inicial de
, mas sua velocidade está diminuindo. (a) A partícula é um elétron ou um próton (justifique)? (b) Qual é a velocidade da partícula ao chegar à placa 2 ? (saiba que a massa do elétron vale
ea do próton vale
)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) identificar se a partícula é um elétron ou um próton (justifique);
(b) calcular a velocidade da partícula ao chegar na placa 2.
(a) identificar se a partícula é um elétron ou um próton (justifique);
(b) calcular a velocidade da partícula ao chegar na placa 2.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- distância entre as placas:
; - potencial da placa da esquerda (onde a partícula parte):
; - potencial da placa da direita (onde chega):
; - velocidade inicial (para a direita):
; - durante o movimento a velocidade está diminuindo (isto é, a partícula desacelera enquanto vai para a direita);
- cargas elementares (valores a usar):
- carga do elétron:
e massa do elétron: ; - massa do próton:
.
A resolução segue a partir dessas informações.
- carga do elétron:
Passo 2
Vamos entender quais relações físicas usamos e o que cada símbolo significa (mini-aula, bem passo-a-passo e sem pressa):
- Energia potencial elétrica de uma carga puntiforme em um ponto com potencial
é
onde
é a carga da partícula (positiva para próton, negativa para elétron) e
é o potencial elétrico nesse ponto (em volts). Unidade de
é joule (
).
- Conservação da energia (não há outras forças além do campo elétrico): a soma da energia cinética (
) e da energia potencial elétrica ( ) é constante:
A energia cinética de uma partícula de massa
e velocidade
é
- A relação útil entre velocidades nas duas placas (derivada de conservação de energia) é
porque
é a energia potencial; reescrevendo a conservação entre os pontos 1 (esquerda) e 2 (direita) obtemos essa fórmula para
. Aqui:
-
é a velocidade inicial na placa 1; -
é a velocidade na placa 2 (o que o enunciado pede em (b)); -
é a carga da partícula (valor positivo se for próton, negativo se for elétron); -
e são os potenciais dados.
-
Sinal e interpretação:
é a variação de energia cinética proporcionada pelo campo elétrico quando a partícula vai de 1 para 2. Se então a partícula ganha energia cinética (acelera); se então perde energia cinética (desacelera). -
Também podemos relacionar campo elétrico e direção da força: o campo é dado por
no caso unidimensional aproximado entre placas existiria
(o campo “aponta” no sentido do sinal de
). A força sobre a partícula é
. Se a partícula desacelera ao ir para a direita, então a componente da força na direção do movimento é contrária (ou seja, o campo faz uma força contrária ao movimento). Isto nos ajuda a decidir o sinal de
.
Com essas fórmulas e interpretações podemos responder (a) e (b).
Passo 3
Decisão sobre o tipo de partícula (item (a)), usando os dados:
-
, então
- O valor
.
Agora raciocínio por energia (mais direto):
- A variação da energia cinética ao ir de 1 para 2 é
. - O enunciado diz que a velocidade está diminuindo → a energia cinética diminui →
. - Logo
. Como , isso implica .
Portanto a carga
é negativa → a partícula é um elétron.
Raciocínio pelo campo (checagem alternativa, mesma conclusão):
- Entre as placas o potencial decresce da esquerda para a direita (80 V → −30 V), então
diminui para a direita; isso dá um campo elétrico para a direita (veja a fórmula , o sinal final mostra apontando para a direita). - Uma carga negativa sentiria uma força
para a esquerda, oposta ao movimento para a direita — isto causa desaceleração. Então também leva a conclusão de que é negativa (elétron).
Conclusão do (a): é um elétron.
Passo 4
Agora calculamos a velocidade ao chegar na placa 2 (item (b)) usando conservação de energia e os valores numéricos. Fórmula:
Para elétron tomamos
e
.
Primeiro calculamos a energia cinética inicial:
Calcule passo a passo:
Multiplicando mantissas:
e potências:
Logo
Convertendo essa energia para eletronvolts (só para intuição):
Ou seja, energia cinética inicial muito pequena (cerca de
).
Agora calcule a variação de energia associada ao potencial:
Esse termo é negativo, ou seja, a operação
reduz a energia cinética — a partícula perde energia ao ir para a direita.
Agora aplicando na fórmula:
Somando:
Ou seja, o lado direito é negativo, o que levaria a
, impossível fisicamente para uma velocidade real. Se isolarmos
obtemos:
Plugando os números daria um
. Isto indica que a partícula não possui energia cinética suficiente para vencer a subida de potencial e, portanto, ela não atinge a placa 2 — ela para (velocidade zero) em algum ponto entre as placas e é repelida de volta.
Portanto não existe uma velocidade real
na placa 2: a partícula não chega até lá com as condições dadas.
Passo 5
(Informação útil para a prova — como determinar onde ela para)
Podemos calcular a posição em que a partícula para (ponto de inversão) assumindo campo uniforme e potencial linear entre as placas. Se é a distância medida a partir da placa esquerda, o potencial em
é
Podemos calcular a posição em que a partícula para (ponto de inversão) assumindo campo uniforme e potencial linear entre as placas. Se
A partícula pára quando sua energia cinética se anula:
. Isolando
:
Para elétron
, isso dá um
maior que
(pois
e divisão por
inverte o sinal), e a partir disso você resolve para
. Não era pedido no enunciado, mas é um passo técnico que frequentemente aparece em provas quando a partícula não chega à outra placa.
Resposta
(a)
(b)
(b)