Uma partícula carregada (um elétron ou um próton) está se movendo para a direita entre duas placas paralelas carregadas separadas por uma distância de 2,0 \mathrm{~mm}. Os potenciais das placas são V_{f}=80 \mathrm{~V} (esquerda) e \boldsymbol{V}_{2}=-\mathbf{3 0 V} (direita). A partícula partiu da placa da esquerda com velocidade inicial de 90 \mathrm{~km} / \mathrm{s}, mas sua velocidade está diminuindo. (a) A partícula é um elétron ou um próton (justifique)? (b) Qual é a velocidade da partícula ao chegar à placa 2 ? (saiba que a massa do elétron vale 9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} ea do próton vale 1,67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) identificar se a partícula é um elétron ou um próton (justifique);
(b) calcular a velocidade da partícula ao chegar na placa 2.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • distância entre as placas: \,d=2{,}0\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}\,;
  • potencial da placa da esquerda (onde a partícula parte): \,V_{1}=80\\ \mathrm{V}\,;
  • potencial da placa da direita (onde chega): \,V_{2}=-30\\ \mathrm{V}\,;
  • velocidade inicial (para a direita): \,v_{1}=90\\ \mathrm{km/s}=9{,}0\times 10^{4}\\ \mathrm{m/s}\,;
  • durante o movimento a velocidade está diminuindo (isto é, a partícula desacelera enquanto vai para a direita);
  • cargas elementares (valores a usar):
    • carga do elétron: \,e=1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}\, e massa do elétron: \,m_{e}=9{,}11\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}\,;
    • massa do próton: \,m_{p}=1{,}67\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg}\,.
      A resolução segue a partir dessas informações.

Passo 2

Vamos entender quais relações físicas usamos e o que cada símbolo significa (mini-aula, bem passo-a-passo e sem pressa):
  1. Energia potencial elétrica de uma carga puntiforme em um ponto com potencial V é
U = q\,V,
onde q é a carga da partícula (positiva para próton, negativa para elétron) e V é o potencial elétrico nesse ponto (em volts). Unidade de U é joule ( \mathrm{J}).
  1. Conservação da energia (não há outras forças além do campo elétrico): a soma da energia cinética ( K) e da energia potencial elétrica ( U) é constante:
K + U = \text{constante}.
A energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade v é
K = \tfrac{1}{2} m v^{2}.
  1. A relação útil entre velocidades nas duas placas (derivada de conservação de energia) é
\tfrac{1}{2} m v_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m v_{1}^{2} + q\,(V_{1}-V_{2}),
porque qV é a energia potencial; reescrevendo a conservação entre os pontos 1 (esquerda) e 2 (direita) obtemos essa fórmula para v_{2}. Aqui:
  • v_{1} é a velocidade inicial na placa 1;
  • v_{2} é a velocidade na placa 2 (o que o enunciado pede em (b));
  • q é a carga da partícula (valor positivo se for próton, negativo se for elétron);
  • V_{1} e V_{2} são os potenciais dados.
  1. Sinal e interpretação: q(V_{1}-V_{2}) é a variação de energia cinética proporcionada pelo campo elétrico quando a partícula vai de 1 para 2. Se q(V_{1}-V_{2})>0 então a partícula ganha energia cinética (acelera); se q(V_{1}-V_{2})<0 então perde energia cinética (desacelera).
  2. Também podemos relacionar campo elétrico e direção da força: o campo é dado por
\mathbf{E} = -\nabla V,
no caso unidimensional aproximado entre placas existiria E \approx -\dfrac{V_{2}-V_{1}}{d} (o campo “aponta” no sentido do sinal de E). A força sobre a partícula é \mathbf{F}=q\mathbf{E}. Se a partícula desacelera ao ir para a direita, então a componente da força na direção do movimento é contrária (ou seja, o campo faz uma força contrária ao movimento). Isto nos ajuda a decidir o sinal de q.
Com essas fórmulas e interpretações podemos responder (a) e (b).

Passo 3

Decisão sobre o tipo de partícula (item (a)), usando os dados:
  • V_{1}=80\\ \mathrm{V}, V_{2}=-30\\ \mathrm{V} então
V_{2}-V_{1} = -30 - 80 = -110\\ \mathrm{V}.
  • O valor (V_{1}-V_{2}) = 110\\ \mathrm{V}.
Agora raciocínio por energia (mais direto):
  • A variação da energia cinética ao ir de 1 para 2 é \Delta K = q (V_{1}-V_{2}).
  • O enunciado diz que a velocidade está diminuindo → a energia cinética diminui → \Delta K<0.
  • Logo q (V_{1}-V_{2})<0. Como V_{1}-V_{2}=+110\\ \mathrm{V}>0, isso implica q<0.
Portanto a carga q é negativa → a partícula é um elétron.
Raciocínio pelo campo (checagem alternativa, mesma conclusão):
  • Entre as placas o potencial decresce da esquerda para a direita (80 V → −30 V), então V diminui para a direita; isso dá um campo elétrico para a direita (veja a fórmula E\approx -(V_{2}-V_{1})/d, o sinal final mostra E apontando para a direita).
  • Uma carga negativa sentiria uma força \mathbf{F}=q\mathbf{E} para a esquerda, oposta ao movimento para a direita — isto causa desaceleração. Então também leva a conclusão de que é negativa (elétron).
Conclusão do (a): é um elétron.

Passo 4

Agora calculamos a velocidade ao chegar na placa 2 (item (b)) usando conservação de energia e os valores numéricos. Fórmula:
\tfrac{1}{2} m v_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m v_{1}^{2} + q (V_{1}-V_{2}).
Para elétron tomamos q=-e=-1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{C} e m=m_{e}=9{,}11\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Primeiro calculamos a energia cinética inicial:
\tfrac{1}{2} m_{e} v_{1}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}11\times 10^{-31}\cdot (9{,}0\times 10^{4})^{2}.
Calcule passo a passo:
(9{,}0\times 10^{4})^{2} = 8{,}10\times 10^{9} = 8{,}1\times 10^{9},
\tfrac{1}{2} m_{e} v_{1}^{2} = 0{,}5 \times 9{,}11\times 10^{-31}\times 8{,}1\times 10^{9}.
Multiplicando mantissas:
0{,}5\times 9{,}11\times 8{,}1 \approx 36{,}8955,
e potências:
10^{-31}\times 10^{9}=10^{-22}.
Logo
\tfrac{1}{2} m_{e} v_{1}^{2} \approx 36{,}8955\times 10^{-22}\\ \mathrm{J}=3{,}6896\times 10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Convertendo essa energia para eletronvolts (só para intuição):
1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}\quad\Rightarrow\quad K_{1}\approx \dfrac{3{,}6896\times 10^{-21}}{1{,}602\times 10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 0{,}023\\ \mathrm{eV}.
Ou seja, energia cinética inicial muito pequena (cerca de 2{,}3\times 10^{-2}\\ \mathrm{eV}).
Agora calcule a variação de energia associada ao potencial:
q\,(V_{1}-V_{2}) = (-e)\times 110\\ \mathrm{V} = -1{,}602\times 10^{-19}\times 110\\ \mathrm{J}.
q\,(V_{1}-V_{2}) = -1{,}7622\times 10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Esse termo é negativo, ou seja, a operação q(V_1-V_2) reduz a energia cinética — a partícula perde energia ao ir para a direita.
Agora aplicando na fórmula:
\tfrac{1}{2} m_{e} v_{2}^{2} = 3{,}6896\times 10^{-21}\\ \mathrm{J} \;+\; (-1{,}7622\times 10^{-17}\\ \mathrm{J}).
Somando:
\tfrac{1}{2} m_{e} v_{2}^{2} \approx -1{,}762\times 10^{-17}\\ \mathrm{J} \;+\; 3{,}69\times 10^{-21}\\ \mathrm{J} \approx -1{,}762\times 10^{-17}\\ \mathrm{J}\\ (\text{o termo pequeno não muda o sinal}).ã
Ou seja, o lado direito é negativo, o que levaria a \tfrac{1}{2} m_{e} v_{2}^{2}<0, impossível fisicamente para uma velocidade real. Se isolarmos v_{2}^{2} obtemos:
v_{2}^{2} = v_{1}^{2} + \dfrac{2q(V_{1}-V_{2})}{m_{e}}.
Plugando os números daria um v_{2}^{2}<0. Isto indica que a partícula não possui energia cinética suficiente para vencer a subida de potencial e, portanto, ela não atinge a placa 2 — ela para (velocidade zero) em algum ponto entre as placas e é repelida de volta.
Portanto não existe uma velocidade real \,v_{2} na placa 2: a partícula não chega até lá com as condições dadas.

Passo 5

(Informação útil para a prova — como determinar onde ela para)
Podemos calcular a posição em que a partícula para (ponto de inversão) assumindo campo uniforme e potencial linear entre as placas. Se x é a distância medida a partir da placa esquerda, o potencial em x é
V(x) = V_{1} + \dfrac{V_{2}-V_{1}}{d}\,x.
A partícula pára quando sua energia cinética se anula: \tfrac{1}{2}m v_{1}^{2} + q(V_{1}-V(x)) = 0. Isolando V(x):
V(x) = V_{1} + \dfrac{\tfrac{1}{2}m v_{1}^{2}}{q}.
Para elétron q=-e, isso dá um V(x) maior que V_{1} (pois \tfrac{1}{2}mv_{1}^{2}>0 e divisão por q<0 inverte o sinal), e a partir disso você resolve para x. Não era pedido no enunciado, mas é um passo técnico que frequentemente aparece em provas quando a partícula não chega à outra placa.

Resposta

(a) \text{elétron}é
(b) \text{não atinge a placa 2 (energia insuficiente), logo não há velocidade real na placa 2}ããá

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