Um transformador de 380/220 volts, 60 Hertz , 5 KVA está guardado em um almoxarifado. É necessário utilizá-lo para alimentar uma carga representada por uma impedância de 30+\mathrm{j} 15 \Omega com tensão de 380 volts. calcule as potências aparente ativa e reativa além do fator de potência pelos terminais do primário.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Transformador 380/220 volts, 60\\ \text{Hz}, 5\\ \text{kVA} (informação de capacidade do equipamento).
    • Carga representada por uma impedância \;Z=30+\mathrm{j}\,15\\ \Omega.
    • A tensão aplicada à carga é \;380\\ \text{V} (valor RMS).
  • Perguntas:
    • Calcular a potência aparente, a potência ativa e a potência reativa pelos terminais do primário.
    • Calcular o fator de potência pelos terminais do primário.
Obs.: aqui a carga recebe \;380\\ \text{V}, portanto a análise será feita com essa tensão aplicada à impedância dada; em seguida calculamos as potências vistas nos terminais (primário).

Passo 2

Estratégia e fórmulas principais (com explicação didática):
  • Vamos usar a Lei de Ohm complexa para circuitos em regime senoidal: a corrente complexa é
I=\frac{V}{Z},
onde
  • \;V é a tensão complexa (aqui tomamos referência \;V=380\angle 0^\circ\\ \text{V}),
  • \;Z é a impedância complexa ( \;30+\mathrm{j}15\\ \Omega),
  • \;I é a corrente complexa resultante (em A).
  • A potência complexa (ou aparente complexa) é dada por
S = V I^*,
onde \;I^* é o conjugado complexo da corrente. O resultado \;S tem parte real \;P (potência ativa, em W) e parte imaginária \;Q (potência reativa, em var):
S = P + \mathrm{j}Q.
  • A potência aparente em módulo é \;|S|=\sqrt{P^2+Q^2} (em VA).
  • O fator de potência é
\text{fp} = \frac{P}{|S|} = \cos\varphi,
onde \;\varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente (positivo para carga indutiva, resultando em fator de potência “atrasado / lagging”).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo, explicando cada variável quando usada.

Passo 3

Calcular módulo e fase da impedância \;Z:
  • Primeiro o módulo:
|Z|=\sqrt{30^{2}+15^{2}}=\sqrt{1125}\approx 33{,}5410\\ \Omega.
  • Fase (ângulo da impedância) \;\theta_Z:
\theta_Z=\arctan\!\left(\frac{15}{30}\right)=\arctan(0{,}5)\approx 26{,}565^\circ.
Interpretação: a impedância tem componente reativa positiva, ou seja, a carga é indutiva e a corrente vai ficar atrasada em relação à tensão por \;26{,}565^\circ.

Passo 4

Calcular a corrente que circula pela carga usando \;I=V/Z:
  • Tomando a tensão de referência \;V=380\angle 0^\circ\\ \text{V},
  • A corrente é
I=\frac{380\angle 0^\circ}{33{,}5410\angle 26{,}565^\circ}= \frac{380}{33{,}5410}\angle(-26{,}565^\circ).
  • Módulo da corrente:
|I|=\frac{380}{33{,}5410}\approx 11{,}3321\\ \text{A}.
  • Portanto
I \approx 11{,}3321\angle -26{,}565^\circ\\ \text{A}.
Comentário didático: o ângulo negativo indica que a corrente atrasa a tensão (comportamento indutivo).

Passo 5

Calcular a potência complexa S = V I^*:
  • O conjugado da corrente é I^* = 11{,}3321\angle +26{,}565^\circ.
  • Então
S = 380\angle 0^\circ \cdot 11{,}3321\angle +26{,}565^\circ = 4306{,}185\angle 26{,}565^\circ\\ \text{VA}.
Este é o valor complexo em forma polar; agora vamos extrair as partes real e imaginária.

Passo 6

Extrair potência ativa P e reativa Q a partir de \;S:
  • Podemos usar P = |S|\cos\varphi e Q = |S|\sin\varphi, com |S|=4306{,}185 e \varphi=26{,}565^\circ.
  • Cálculo direto (ou usando fórmulas com V^2 e componentes de Z):
P = \frac{V^{2}R}{|Z|^{2}}=\frac{380^{2}\cdot 30}{1125} \approx 3850{,}6667\\ \text{W},
Q = \frac{V^{2}X}{|Z|^{2}}=\frac{380^{2}\cdot 15}{1125} \approx 1925{,}3333\\ \text{var}.
Verificação rápida: \sqrt{P^{2}+Q^{2}}\approx 4306{,}185\\ \text{VA}, consistente com |S|.

Passo 7

Calcular o fator de potência e indicar se é atrasado (lagging) ou adiantado (leading):
  • Fator de potência:
\text{fp}=\frac{P}{|S|}=\frac{3850{,}6667}{4306{,}185}\approx 0{,}8944.
  • Como a componente reativa Q é positiva (indutiva) e a corrente atrasa a tensão, o fator de potência é do tipo atrasado (lagging).
Também o ângulo entre tensão e corrente:
\varphi=\arctan\!\left(\frac{Q}{P}\right)=\arctan(0{,}5)\approx 26{,}565^\circ.

Passo 8

Comentário prático (checagem da capacidade do transformador):
  • A potência aparente exigida pelos terminais é |S|\approx 4306{,}19\\ \text{VA}, ou seja, cerca de 4{,}306\\ \text{kVA}.
  • Como o transformador é de 5\\ \text{kVA}, a potência solicitada está abaixo da capacidade nominal ( 4{,}306\\ \text{kVA}<5\\ \text{kVA}), portanto o transformador, em princípio, suporta essa carga (considerando só a capacidade aparente).

Resposta

Potência aparente: |S| \approx 4306{,}19\\ \text{VA}
Potência ativa: P \approx 3850{,}67\\ \text{W}
Potência reativa: Q \approx 1925{,}33\\ \text{var}
Fator de potência: \text{fp}\approx 0{,}8944 (atrasado / lagging)

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