Uma partícula se desloca sobre o eixo x de acordo com uma função posição x = x(t). Sendo v(t) = x'(t) a função velocidade da partícula e a t = x''(t) a função aceleração da partícula, determine x = x(t) nos casos abaixo:
a(t) = 3t, v(0) = 1 e x(0) = 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move ao longo do eixo e a posição dela em função do tempo é . A aceleração da partícula é dada por . Além disso, sabemos que a velocidade inicial e a posição inicial . Nosso objetivo é descobrir a função posição . Para isso, vamos usar o cálculo, mais especificamente, integrações, já que aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função velocidade . Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para encontrar , precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
A integral de é:
Aqui, é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial :
Então, a função velocidade fica:

Passo 3

Agora que temos a função velocidade, vamos encontrar a função posição . Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para encontrar , integramos a velocidade em relação ao tempo:
A integral de é e a integral de é , então:
Aqui, é outra constante de integração. Usamos a condição inicial para encontrar :
Portanto, a função posição é:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:

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