Uma partícula, estando no ponto (
), pode mover-se para o ponto
ou para o ponto
. Quantos são os caminhos que a partícula pode tomar para, partindo do ponto ( 0,0 ), chegar ao ponto (
), onde
e
?
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula parte de
e faz apenas movimentos para a direita
ou para cima
, até chegar em
com
e
. O conteúdo é contagem de caminhos numa grade (problema clássico de combinatória) e vamos usar combinações para resolver.
Passo 2
Note que qualquer caminho até
tem exatamente
passos para a direita e
passos para cima, totalizando
movimentos. Cada caminho é, portanto, uma sequência de
símbolos em que escolhemos
posições para os “passos à direita” e as outras
para os “passos para cima”.
Passo 3
O número de maneiras de escolher quais
dentre os
movimentos são para a direita é dado pelo coeficiente binomial
que, em forma de permutação com repetição, vale