Uma partícula, estando no ponto ( x, y ), pode mover-se para o ponto (x+1, y) ou para o ponto (x, y+1). Quantos são os caminhos que a partícula pode tomar para, partindo do ponto ( 0,0 ), chegar ao ponto ( a, b ), onde a>0 e b>0 ?

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula parte de (0,0) e faz apenas movimentos para a direita (x+1,y) ou para cima (x,y+1), até chegar em (a,b) com a>0 e b>0. O conteúdo é contagem de caminhos numa grade (problema clássico de combinatória) e vamos usar combinações para resolver.

Passo 2

Note que qualquer caminho até (a,b) tem exatamente a passos para a direita e b passos para cima, totalizando a+b movimentos. Cada caminho é, portanto, uma sequência de a+b símbolos em que escolhemos a posições para os “passos à direita” e as outras b para os “passos para cima”.

Passo 3

O número de maneiras de escolher quais a dentre os a+b movimentos são para a direita é dado pelo coeficiente binomial
\binom{a+b}{a}
que, em forma de permutação com repetição, vale
\frac{(a+b)!}{a!\,b!}.

Resposta

\binom{a+b}{a} \;=\;\frac{(a+b)!}{a!\,b!}.

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