Uma partícula de massa m dentro de um poço de potencial infinito de largura a se encontra na metade esquerda do poço, e tem a mesma probabilidade de ser encontrada dentro daquela região em t=0.
a) Encontre a função de onda inicial \psi(x, 0). Assuma que ela seja real (e não se esqueça de normalizá-la).
b) Mostre que a chance de você fazer uma medida da energia dessa partícula e encontrar o resultado \pi^{2} \hbar^{2} / 2 m a^{2} é de 40,5 \%.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa m confinada num poço de potencial infinito de largura a. Em t=0 ela ocupa uniformemente a metade esquerda do poço, ou seja, a probabilidade de encontrá-la em 0<x<a/2 é 1, e em a/2<x<a é 0. Vamos (a) construir essa função de onda inicial real e normalizá-la, e depois (b) expandi-la nos autovetores de energia do poço para calcular a probabilidade de medir o nível \displaystyle E_{1}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}.
Passo 2
Para achar \psi(x,0) tomamos uma função constante em 0<x<a/2 e zero em a/2<x<a. Chamemos esse valor de C. A normalização exige