Uma partícula de massa m dentro de um poço de potencial infinito de largura a se encontra na metade esquerda do poço, e tem a mesma probabilidade de ser encontrada dentro daquela região em t=0.
a) Encontre a função de onda inicial \psi(x, 0). Assuma que ela seja real (e não se esqueça de normalizá-la).
b) Mostre que a chance de você fazer uma medida da energia dessa partícula e encontrar o resultado \pi^{2} \hbar^{2} / 2 m a^{2} é de 40,5 \%.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m confinada num poço de potencial infinito de largura a. Em t=0 ela ocupa uniformemente a metade esquerda do poço, ou seja, a probabilidade de encontrá-la em 0<x<a/2 é 1, e em a/2<x<a é 0. Vamos (a) construir essa função de onda inicial real e normalizá-la, e depois (b) expandi-la nos autovetores de energia do poço para calcular a probabilidade de medir o nível \displaystyle E_{1}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}.

Passo 2

Para achar \psi(x,0) tomamos uma função constante em 0<x<a/2 e zero em a/2<x<a. Chamemos esse valor de C. A normalização exige
\int_{0}^{a}|\psi(x,0)|^{2}dx =\int_{0}^{a/2}C^{2}\,dx =C^{2}\,\frac{a}{2} =1.
Logo
C^{2}=\frac{2}{a},
e podemos escolher C>0 para ficar real, obtendo
\psi(x,0)= \begin{cases} \sqrt{\dfrac{2}{a}},&0<x<\dfrac{a}{2},\\[6pt] 0,&\dfrac{a}{2}<x<a. \end{cases}]

Passo 3

Os autovetores de energia do poço infinito são
\phi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\;\sin\!\bigl(n\pi x/a\bigr), \qquad n=1,2,3,\dots
com autovalores
E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}.
A probabilidade de medir E_{n} em t=0 é \bigl|c_{n}\bigr|^{2}, onde
c_{n}=\int_{0}^{a}\phi_{n}(x)\,\psi(x,0)\,dx =\int_{0}^{a/2}\sqrt{\tfrac{2}{a}}\;\sin\!\bigl(n\pi x/a\bigr)\;\sqrt{\tfrac{2}{a}}\;dx.

Passo 4

No intervalo [0,a/2] temos
c_{n} =\frac{2}{a}\int_{0}^{a/2}\sin\!\bigl(n\pi x/a\bigr)\,dx =\frac{2}{a}\,\frac{a}{n\pi}\bigl[1-\cos(n\pi/2)\bigr] =\frac{2}{n\pi}\,\bigl[1-\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\bigr].

Passo 5

Para n=1 vem
c_{1} =\frac{2}{1\pi}\bigl[1-\cos(\pi/2)\bigr] =\frac{2}{\pi}(1-0) =\frac{2}{\pi},
logo a probabilidade de medir E_{1} é
\bigl|c_{1}\bigr|^{2} =\Bigl(\frac{2}{\pi}\Bigr)^{2} =\frac{4}{\pi^{2}} \approx 0{,}405,
ou seja, 40,5\%.

Resposta

(a) \displaystyle \psi(x,0)= \begin{cases} \sqrt{\tfrac{2}{a}},&0<x<\tfrac{a}{2},\\\\ 0,&\tfrac{a}{2}<x<a. \end{cases} (b) \displaystyle P\bigl(E_{1}\bigr)=\frac{4}{\pi^{2}}\approx 40{,}5\%.

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