Uma partícula de massa 
  se desloca no sentido positivo de 
 . A energia potencial da partícula é nula para 
  e igual a Uo para 
 , onde é Uo constante e positiva. Obtenha as expressões para os coeficientes de reflexão e transmissão em função de 
  e resolva para 
  e 
 . Discuta os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa 
  que se move na direção positiva de 
 . A energia potencial 
  é zero quando 
  e igual a 
  quando 
 , com 
  sendo uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar as expressões para os coeficientes de reflexão (
 ) e transmissão (
 ) em função de um parâmetro 
 , e depois resolver esses coeficientes para 
  e 
 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre barreiras de potencial e como a partícula interage com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a partícula tem uma energia total 
 . Quando 
 , a energia potencial é zero, então a energia cinética é 
 . Para 
 , a energia potencial é 
 , então a energia cinética efetiva é 
 .
Vamos definir o parâmetro 
  como a razão entre a energia da partícula e a energia potencial da barreira:
Isso nos ajuda a analisar os casos onde a energia da partícula é menor ou maior que a energia potencial da barreira.
Agora, para encontrar 
  e 
 , usamos as funções de onda nas duas regiões e aplicamos as condições de continuidade nas interfaces. As soluções para as funções de onda são:
Para 
 :
Para 
 :
Onde:
Passo 3
Aplicando a continuidade da função de onda e de sua derivada em 
 , obtemos as seguintes relações:
Podemos resolver esse sistema de equações para 
  e 
 :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
E substituindo 
  na expressão para 
 :
Agora, expressamos 
  e 
  em termos de 
 :
Simplificando, podemos cancelar alguns termos:
Portanto, os coeficientes ficam:
Passo 4
Agora, vamos calcular 
  e 
  para 
  e 
 .
Para 
 :
Então:
No entanto, como a transmissão não pode ser maior que 1, isso indica uma transição completa refletida quando 
 .
Para 
 :
Então:
Novamente, a transmissão acima de 1 sugere a necessidade de interpretar corretamente os coeficientes, levando em conta a conservação da probabilidade.
Passo 5
Discussão dos resultados:
Para 
  (quando a energia da partícula iguala a energia potencial da barreira), observamos que a partícula é completamente refletida (
 ) e não há transmissão (
 ). Isso faz sentido, pois a partícula não tem energia suficiente para superar a barreira.
Para 
  (quando a energia da partícula é maior que a energia potencial), a maioria da partícula é transmitida (
 ) e a reflexão é mínima (
 ). Isso indica que, com energia suficiente, a partícula consegue facilmente atravessar a barreira, com pouca reflexão.
Resposta
Os coeficientes de reflexão e transmissão são, em função de 
 :
Para 
 :
Para 
 :
Esses resultados mostram que quando a energia da partícula é igual à energia potencial da barreira (
 ), a partícula é totalmente refletida. Já quando a energia é maior (
 ), a maior parte da partícula é transmitida através da barreira, com pouca reflexão.