Uma partícula em movimento em trajetória retilínea tem a função horária do movimento dada por:
onde
é o tempo e
é a coordenada espacial, em unidades do Sistema Internacional. Determinar:
A função horária da velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento retilíneo! A gente tem a função que mostra onde a partícula está em qualquer tempo
t, que é x(t) = 50,0 + 2,00t + 3,00t² + 0,200t³. Nosso objetivo aqui é encontrar a função da velocidade, ou seja, como a velocidade da partícula muda com o tempo. Para isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo.Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que, se temos
x(t), a função da velocidade v(t) será a derivada de x(t) em relação a t. Matemáticamente, isso é representado por:Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de cada termo da função
x(t):- Derivada de
50,0: Como é uma constante, a derivada é0. - Derivada de
2,00t: A derivada dekt(ondeké uma constante) é simplesmentek. Então, a derivada é2,00. - Derivada de
3,00t²: Usamos a regra da potência, que diz que a derivada dektⁿék*n*t^(n-1). Aqui,n=2, então a derivada é3,00 * 2 * t = 6,00t. - Derivada de
0,200t³: Novamente, aplicamos a regra da potência. Comn=3, a derivada fica0,200 * 3 * t² = 0,600t².
Passo 4
Vamos agora somar todas essas derivadas para obter a função da velocidade:
Simplificando:
Resposta
A função horária da velocidade é: