Uma partícula tem aceleração
. Mostre que a aceleração média entre
e
é
.
Passo 1
O enunciado dá que existe uma partícula com aceleração
e pede para mostrar que a aceleração média entre os instantes
e
é
Informações relevantes que temos:
-
é a aceleração no instante . -
é a velocidade no instante . - Os instantes são
e com .
A tarefa é provar a igualdade acima, ou seja, relacionar a média temporal decom a variação de .
Passo 2
O que é aceleração instantânea e qual a relação com velocidade?
Definição: a aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em linguagem matemática isso é
Definição: a aceleração instantânea
onde
indica a derivada de
em relação a
. Explicando devagar: a derivada
dá o quanto a velocidade muda quando o tempo muda um pouquinho — é o “passo por passo” da velocidade.
Passo 3
Como definimos a aceleração média numa prova?
A aceleração média no intervalo
é a altura média do gráfico de
nesse intervalo. A forma conveniente e padrão (em cálculo) para a média de uma função
em
é
A aceleração média
Aplicando isso a
, temos a definição usada aqui:
Intuição rápida:
é a “área” sob a curva
; dividindo pelo comprimento do intervalo
obtemos a “altura média” dessa área — a aceleração média.
Passo 4
Substituímos a relação entre aceleração e derivada de
dentro da integral. Como
,
Aqui apenas trocamos
por
. É importante entender que essa integral soma as pequenas taxas de variação de
ao longo do tempo.
Passo 5
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo (explicado de forma simples). O Teorema Fundamental do Cálculo diz que integrar uma derivada recupera a variação da função: se
é diferenciável e contínua, então
Em palavras: somando (integrando) todas as pequenas mudanças instantâneas de velocidade ao longo do intervalo obtemos a mudança total de velocidade entre os extremos.
Passo 6
Substituindo o resultado do passo anterior em
obtemos
Reescrevendo de forma direta,
Pronto — essa é exatamente a fórmula pedida. Intuitivamente: a aceleração média é só a variação total da velocidade dividida pelo tempo gasto, ou seja, a taxa média de variação da velocidade.
Passo 7
Um exemplo numérico e interpretação curta para fixar: suponha aceleração constante
m/s
. Então a velocidade cresce linearmente:
. Entre
s e
s, temos
m/s. A aceleração média é
m/s
, que coincide com a aceleração constante. Isso mostra que a fórmula devolve a taxa média correta e coincide com o caso intuitivo de aceleração constante.