Uma partícula tem aceleração a(t). Mostre que a aceleração média entre t_{1} e t_{2} é a_{m}= \frac{v\left(t_{2}\right)-v\left(t_{1}\right)}{t_{2}-t_{1}}.

Passo 1

O enunciado dá que existe uma partícula com aceleração a(t) e pede para mostrar que a aceleração média entre os instantes t_{1} e t_{2} é
a_{m}= \frac{v\left(t_{2}\right)-v\left(t_{1}\right)}{t_{2}-t_{1}}.
Informações relevantes que temos:
  • a(t) é a aceleração no instante t.
  • v(t) é a velocidade no instante t.
  • Os instantes são t_{1} e t_{2} com t_{1}<t_{2}.
    A tarefa é provar a igualdade acima, ou seja, relacionar a média temporal de a(t) com a variação de v(t).

Passo 2

O que é aceleração instantânea e qual a relação com velocidade?
Definição: a aceleração instantânea a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em linguagem matemática isso é
a(t)=v'(t)=\frac{d v}{d t},
onde v'(t) indica a derivada de v em relação a t. Explicando devagar: a derivada v'(t) dá o quanto a velocidade muda quando o tempo muda um pouquinho — é o “passo por passo” da velocidade.

Passo 3

Como definimos a aceleração média numa prova?
A aceleração média a_{m} no intervalo [t_{1},t_{2}] é a altura média do gráfico de a(t) nesse intervalo. A forma conveniente e padrão (em cálculo) para a média de uma função f em [t_{1},t_{2}] é
\text{média}(f)=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t)\,dt.é
Aplicando isso a a(t), temos a definição usada aqui:
a_{m}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}} a(t)\,dt.
Intuição rápida: \int_{t_{1}}^{t_{2}} a(t)\,dt é a “área” sob a curva a(t); dividindo pelo comprimento do intervalo t_{2}-t_{1} obtemos a “altura média” dessa área — a aceleração média.

Passo 4

Substituímos a relação entre aceleração e derivada de v dentro da integral. Como a(t)=v'(t),
a_{m}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}} v'(t)\,dt.
Aqui apenas trocamos a(t) por v'(t). É importante entender que essa integral soma as pequenas taxas de variação de v ao longo do tempo.

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo (explicado de forma simples). O Teorema Fundamental do Cálculo diz que integrar uma derivada recupera a variação da função: se v é diferenciável e contínua, então
\int_{t_{1}}^{t_{2}} v'(t)\,dt = v(t_{2})-v(t_{1}).
Em palavras: somando (integrando) todas as pequenas mudanças instantâneas de velocidade ao longo do intervalo obtemos a mudança total de velocidade entre os extremos.

Passo 6

Substituindo o resultado do passo anterior em a_{m} obtemos
a_{m}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\bigl(v(t_{2})-v(t_{1})\bigr).
Reescrevendo de forma direta,
a_{m}= \frac{v\left(t_{2}\right)-v\left(t_{1}\right)}{t_{2}-t_{1}}.
Pronto — essa é exatamente a fórmula pedida. Intuitivamente: a aceleração média é só a variação total da velocidade dividida pelo tempo gasto, ou seja, a taxa média de variação da velocidade.

Passo 7

Um exemplo numérico e interpretação curta para fixar: suponha aceleração constante a(t)=2 m/s ^2. Então a velocidade cresce linearmente: v(t)=2t+C. Entre t_{1}=1 s e t_{2}=4 s, temos v(4)-v(1)=2\cdot4+ C - (2\cdot1+ C)=6 m/s. A aceleração média é 6/(4-1)=2 m/s ^2, que coincide com a aceleração constante. Isso mostra que a fórmula devolve a taxa média correta e coincide com o caso intuitivo de aceleração constante.

Resposta

a_{m}= \dfrac{v\left(t_{2}\right)-v\left(t_{1}\right)}{t_{2}-t_{1}}