6- Uma partícula que vive em uma dimensão espacial tem a função de onda
psi(x)=A x exp (i k x-b |x|2)
onde A, k e b são parâmetros reais ( b<0 ). (b) Achar o valor esperado da coordenada x dessa partícula (como função de k e b).

Oscilador Harmônico

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em uma dimensão espacial e sua função de onda é dada por:
psi(x) = A x exp(i k x - b |x|2)
Aqui, , e são parâmetros reais, sendo que . A pergunta quer que a gente encontre o valor esperado da coordenada dessa partícula, ou seja, , em função de e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o cálculo do valor esperado usando integrais envolvendo a função de onda.

Passo 2

O valor esperado de uma observável, como a posição lang<= x rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) , x , psi(x) , dx , é calculado pela integral:
Aqui, é a função de onda complexa conjugada de .

Passo 3

Vamos encontrar a função de onda complexa conjugada psi(x) = A x exp(i k x - b |x|2) . Dada a função:
psi^*(x) = A x exp(-i k x - b |x|2)
O conjugado complexo de é . Já o termo é real, então permanece o mesmo. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar psi^*(x) , x , psi(x) = A x exp(-i k x - b |x|2) cdot x cdot A x exp(i k x - b |x|2) , exp(-i k x - b |x|2) cdot exp(i k x - b |x|2) = exp(-b |x|) e A^2 x^2 exp(-b |x|) :
psi^*(x) , x , psi(x) = A^2 x^2 exp(-b |x|)
Simplificando os termos exponenciais:
E multiplicando os termos de frente:
Então, temos:

Passo 5

Agora, nosso valor esperado fica:
lang<= x rang<= = A^2 integral-infty^infty x^2 exp(-b |x|) dx
Para resolver essa integral, vamos notar que a função lang<= x rang<= = 2 A^2 integral0^infty x^2 exp(-b x) dx é par, ou seja, é simétrica em relação a . Portanto, podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de 0 a :

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral:
integral0^infty x^2 exp(-b x) dx
Sabemos que:
integral0^infty x^n e^-a x dx = n!a^n+1
Para integral0^infty x^2 exp(-b x) dx = 2!b^3 = 2b^3 e , temos:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para lang<= x rang<= = 2 A^2 cdot 2b^3 = 4 A^2b^3 :

Passo 8

Por fim, precisamos lembrar que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
Calculando |psi(x)|^2 = A^2 x^2 exp(-b |x|) :
integral-infty^infty A^2 x^2 exp(-b |x|) dx = 2 A^2 cdot 2b^3 = 4 A^2b^3 = 1
Assim:
A^2 = b^34 Rightarrow A = b^3/22
Daí, encontramos que:

Passo 9

Substituindo lang<= x rang<= = 4 cdot (b^3/22)^2b^3 = 4 cdot b^34b^3 = 1 na expressão de :

Resposta

O valor esperado da coordenada lang<= x rang<= = 1 dessa partícula é:

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