Partindo das expressões relativísticas para energia total e momento de uma partícula
E=m_{0} c^{2} \gamma=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}} \quad e \quad \vec{p}=m_{0} \gamma \vec{u}=\frac{m_{0} \vec{u}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}} .
Obtenha a expressão
E^{2}=(p c)^{2}+\left(m_{0} c^{2}\right)^{2} .

Passo 1

O enunciado nos dá as fórmulas relativísticas para a energia total e o momento de uma partícula de massa de repouso m_{0} e velocidade \vec u:
E = m_{0}c^{2}\,\gamma \quad\text{e}\quad \vec p = m_{0}\,\gamma\,\vec u,
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}.
O objetivo é combinar essas duas expressões para chegar à relação
E^{2} = (p\,c)^{2} + \bigl(m_{0}c^{2}\bigr)^{2}.

Passo 2

Vamos primeiro escrever E^{2} e \bigl(p\,c\bigr)^{2} em termos de \gamma.
Como
E = m_{0}c^{2}\,\gamma,
temos
E^{2} = \bigl(m_{0}c^{2}\bigr)^{2}\,\gamma^{2}.
E, como \vec p = m_{0}\,\gamma\,\vec u, o módulo p satisfaz
p = m_{0}\,\gamma\,u \quad\Longrightarrow\quad (p\,c)^{2} = \bigl(m_{0}\,u\,c\bigr)^{2}\,\gamma^{2}.

Passo 3

Agora calculamos a diferença E^{2} - (p\,c)^{2}:
E^{2} - (p\,c)^{2} = \bigl(m_{0}c^{2}\bigr)^{2}\,\gamma^{2} \;-\;\bigl(m_{0}u\,c\bigr)^{2}\,\gamma^{2}.
Colocando \gamma^{2} em evidência e fatorando m_{0}^{2}c^{2}:
E^{2} - (p\,c)^{2} = m_{0}^{2}c^{2}\,\gamma^{2} \Bigl(c^{2} - u^{2}\Bigr).

Passo 4

Substituímos \gamma^{2} = 1/(1 - u^{2}/c^{2}) e escrevemos c^{2} - u^{2} = c^{2}\bigl(1 - u^{2}/c^{2}\bigr). Assim,
E^{2} - (p\,c)^{2} = m_{0}^{2}c^{2} \;\frac{1}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} \;c^{2}\Bigl(1 - \tfrac{u^{2}}{c^{2}}\Bigr) = m_{0}^{2}c^{4}.
Reorganizando, obtemos exatamente
E^{2} = (p\,c)^{2} + m_{0}^{2}c^{4} = (p\,c)^{2} + \bigl(m_{0}c^{2}\bigr)^{2}.

Resposta

E^{2} = (p\,c)^{2} + \bigl(m_{0}c^{2}\bigr)^{2}.

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